Winkelgeschwindigkeit aus Winkelbeschleunigung? (intergration nach phi statt t)

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Kokospalme Auf diesen Beitrag antworten »
Winkelgeschwindigkeit aus Winkelbeschleunigung? (intergration nach phi statt t)
Meine Frage:
Hallo Liebe Mathe Profis,
Ich verzweifel an der Aufgabe, zu sehen im angehängten Bild.
Mein Problem ist folgendes:
wie kommt man von phiZweipunkt auf 1/2 PhiPunkt^2? und wie kommen die im Text auf diese Gleichung(in der letzten Zeile)?
"phiPunkt*dPhiPunkt = PhiZweipunkt*dPhiPunkt"

den Rechten Teil der Lösung verstehe ich, also die Integration von cos(phi) usw..
etwas sehr Ähnliches wurde im folgenden Link schon mal gefragt. die Lösungsansätze geben mir aber leider keinen Aufschluss... Meine Mitstudierenden konnte mir bisher leider auch nicht helfen.
http://www.matheboard.de/archive/400530/thread.html

Wäre cool wenn mir jemand unter die Arme greifen könnte!

Meine Ideen:
Normaleweise sind PhiPunkt und PhiZweipunkt ja von t abhängig, in diesem Fall aber von Phi selbst. Habe schon versucht, beide Seiten nach t zu integrieren, komme aber nur auf totalen quatsch...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkelgeschwindigkeit aus Winkelbeschleunigung? (intergration nach phi statt t)
Wenn dir der zitierte Thread nicht weitergeholfen hat, ist es zweifelhaft, ob dir eine neue Antwort mehr hilft. Ich versuche es einfach mal. In der Physik und den Ingenieurwissenschaften ist dass formale Rechnen mit Differentialen sehr beliebt. Man kann damit z. B. die explizite Anwendung der Kettenregel und der Substitutionsregel umgehen. Aber auch Mathematiker merken sich die Anwendung dieser Regeln gern über das formale Rechnen mit Differentialen.

Beginnen wir mit der Identität



und schreiben sie als



Jetzt führt formales Multiplizieren mit und anschließendes formales Kürzen des zu dem Ausdruck



auf deinem Bild. Setzt man das in



ein, erhält man



Wie in dem zitierten Thread erläutert, kann man auch durch explizite Anwendung der Substitutionsregel zu diesem Ergebnis kommen.
Kokospalme Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkelgeschwindigkeit aus Winkelbeschleunigung? (intergration nach phi statt t)
Vielen Dank für deine Hilfe, ich habe es verstanden! Gott

aaaalso, wenn ich das richtig verstanden habe:

1. Auf beiden Seiten mit PhiPunkt erweitern

2. PhiPunkt links und PhiPunkt rechts substituieren mit ihren Ableitungen

3. mit dt erweitern, dann fällt das dt unterm Bruch raus

4. auf beiden Seiten Integrieren, da jetzt '[formel] * d[Variable]'

5. PhiPunkt * dPhiPunkt = 1/2 * PhiPunkt^2 (genau wie zB. 'x dx' )


ist das so richtig?

grüße und nen schönen Sonntag, Kokospalme
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Inhaltlich äquivalent, aber etwas anders darsgestellt kann man auch über die Kettenregel argumentieren: Gemäß der ist

,

und dies dann über integrieren, unter Beachtung von Substitution auf der rechten Gleichungsseite.


EDIT: Sorry, hätte mal vorher den verlinkten Thread aufrufen sollen, dort wird es ja auch so ähnlich erklärt.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkelgeschwindigkeit aus Winkelbeschleunigung? (intergration nach phi statt t)
Zitat:
Original von Kokospalme
2. PhiPunkt links und PhiPunkt rechts substituieren mit ihren Ableitungen

Da wird eigentlich nichts substituiert. Es wird lediglich die Newtonsche Schreibweise der Ableitung nach der Zeit mit dem Punkt in die Leibnizsche Schreibweise mit dem Differentialquotienten umgeschrieben und zwar auf der einen Seite bei und auf der anderen Seite für .
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