Faktorisieren mit Verwendung des Horner Schemas

08.04.2017, 13:52

Mathenab

Faktorisieren mit Verwendung des Horner Schemas

Hallo erstmal alle zusammen Wink

Aufgabenstellung:

Faktorisieren Sie die folgende Polynom unter Verwendung des Horner-Schemas (die pq-Formel erst verwenden, wenn es mit dem Raten einer Nullstelle und Horner-Schema nicht mehr weiter geht) !

$\begin{eqnarray*} f(x)=7x^5-7x^4-175x^3+343x^2+588x-1260 \end{eqnarray*}$

__x^5__x^4__ x^3____x^2 __x_____d <= ist die Bezeichnung d an der stelle richtig ?
____ 7__ -7__ -175____ 343__588__-260
____ 0__14__ 14_____-322___42__1260
x=2__7__7___-161_____21___630____ 0

1)das Horner-Schema macht es zwar einfach die Nullstellen zu berechnen aber was wenn meine Nullstelle bei -5 ist. ich habe nicht die zeit so lange zu rechnen gibt es da eine einfachere Lösung.

2)Und was ist mit Faktorisieren gemeint ? Ich weiß nett was das jetzt mit der Funktion zu tun hat
$\begin{eqnarray*} f(x)=7x^5-7x^4-175x^3+343x^2+588x-1260 \end{eqnarray*}$ =>

$\begin{eqnarray*} 7*(x^5-x^4-25x^3+49x^2+84x)-180 \end{eqnarray*}$ das ich das so hier ausklammere oder wie verwirrt

3) PQ- Formel wie soll ich das in die Form von x^2 bringen ? (Ausklammern geht ja schlecht )

08.04.2017, 19:04

Bürgi

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RE: Was bedeutet Faktorisieren mit Verwendung von Horna Schema ?
Guten Abend,

gemeint ist mit der Aufgabenstellung, dass Du den Term in möglichst viele Linearfaktoren zerlegen sollst.

Der erste Schritt ist die 7 auszuklammern. Das hast Du (fast) richtig gemacht.

$\begin{eqnarray*} f(x)=7x^5-7x^4-175x^3+343x^2+588x-1260~\implies~f(x)=7 \cdot (x^5-x^4-25x^3+49x^2+84x-180) \end{eqnarray*}$

Wenn es ganzzahlige Nullstellen geben sollte, können sie nur in der Klammer vorhanden sein und dann müssen sie als Faktor in 180 enthalten sein:

$\begin{eqnarray*} 180=2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \end{eqnarray*}$ Die Faktoren können jeweils positiv oder negativ sein!

code:
1: 2: 3: 4: 5:	\| 1 -1 -25 49 84 -180 \| 0 2 2 -46 6 180 -------------------------------------- x=2 \| 1 1 -23 3 90 0

Damit hast Du einen Linearfaktor gefunden, nämlich (x-2). Dein Funktionsterm heißt jetzt

$\begin{eqnarray*} f(x)=7 \cdot (x-2)\cdot (x^4 + x^3 -23x^2 +3x +90) \end{eqnarray*}$

Weitere Nullstellen sind jetzt höchstens in der großen Klammer zu finden. Offensichtlich ist x = 3 eine Nullstelle. Du kannst jetzt in Deiner Tabelle weitermachen (siehe oben)

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8:	\| 1 -1 -25 49 84 -180 \| 0 2 2 -46 6 180 -------------------------------------- x=2 \| 1 1 -23 3 90 0 \| 0 3 12 -33 -90 ------------------------------ x=3 \| 1 4 -11 -30 0

Damit hast Du einen weiteren Linearfaktor gefunden, nämlich (x-3). Dein Funktionsterm heißt jetzt

$\begin{eqnarray*} f(x)=7 \cdot (x-2)\cdot (x-3) \cdot ( x^3 +4x^2 -11x -30) \end{eqnarray*}$ Die Koeffizienten des Terms in der letzten Klammer stehen in der letzten Zeile des Hornerschemas.

Die verbleibenden 3 Schritte sind für Dich.

09.04.2017, 11:05

Mathenab

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danke Erstmal für die sehr hilfreiche Antwort jetzt hab ich das auch in die Form von x^2 bekommen Freude

$\begin{eqnarray*} p(x)=2x^4-14x^3-6x^2+38x+28 => p(x)=2*(x^4-7x^3-3x^2+19x+14) \end{eqnarray*}$

code:
1: 2: 3:	1 -7 -3 19 14 0 2 -10 -26 -14 x=2 1 -5 -13 -7 0

$\begin{eqnarray*} p(x)=2*(-2)*(x^3-5x^2-13x-7) \end{eqnarray*}$

code:
1: 2: 3:	1 -5 -13 -7 0 -1 6 7 x=-1 1 -6 -7 0

$\begin{eqnarray*} p(x)=2*(-2)(+1)*(x^2-6x-7) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-6x-7 \end{eqnarray*}$ pq Formel => $\begin{eqnarray*} x1=-1 x2=7 \end{eqnarray*}$

09.04.2017, 13:44

Bürgi

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Hallo,

ich verstehe nicht, was Du da gerechnet hast - und vor allem verstehe ich nicht, warum Du nicht mit dem Schema weiterrechnest:
Weitere ganzzahlige Nullstellen der Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=7 \cdot (x-2)\cdot (x-3) \cdot ( x^3 +4x^2 -11x -30) \end{eqnarray*}$

müssen als Faktor in 30 = 2 * 3 * 5 enthalten sein

Durch Vorzeichenbetrachtung kommt als mögliche Nullstelle x = -2 in Frage:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:

    | 1   -1   -25   49   84   -180
    | 0    2     2  -46    6    180
--------------------------------------
x=2 | 1    1   -23    3   90      0
    | 0    3    12  -33  -90
------------------------------
x=3 | 1    4   -11  -30    0
    | 0   -2    -4   30
----------------------------
x=-2| 1    2   -15    0

Die Funktion heißt jetzt

$\begin{eqnarray*} f(x)=7 \cdot (x-2)\cdot (x-3) \cdot(x+2) \cdot ( x^2+2x-15) \end{eqnarray*}$

Weitere Nullstellen liefert die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2+2x-15=0 \end{eqnarray*}$

... und jetzt Du.

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