Berührungspunkt einer Tangente und einer Ellipse berechnen

09.04.2017, 16:52

MatheNoob^2

Berührungspunkt einer Tangente und einer Ellipse berechnen

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich habe folgendes Problem, bei dem ich einfach nicht weiterkomme:

Mir ist eine Ellipse und eine daran anliegende Tangente gegeben. Nun muss ich den Berührungspunkt der Ellipse und der Tangente ermitteln.

- die Ellipse liegt mit dem Mittelpunkt auf dem Koordinatenursprung
- die Tangente hat eine negative Steigung
- es wird der positive Berührungspunkt gesucht (c > 0)

Entsprechend ist gegeben: a, b, -m, +c

Ellipsengleichung: $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \end{eqnarray*}$
Tangentengleichung: $\begin{eqnarray*} y = mx + c \end{eqnarray*}$ (c > 0)

Meine Ideen:
Bin ich überhaupt auf der richtigen Spur für y in der Ellipsengleichung jetzt die Tangentengleichung einzusetzen? Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{(mx + c)^{2}}{b^{2}} = 1 \end{eqnarray*}$

Und dann muss ich ja zu x umstellen oder nicht?! Wäre dann ja so

$\begin{eqnarray*} (xb)^{2} + ((mx + c)a)^{2} = (ab)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} + b^{2} + (mxa + ca)^{2} = (ab)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} + b^{2} + (mxa)^{2} + 2mxca^{2} + (ca)^{2} = (ab)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{2} + (mxa)^{2} + 2mxca^{2} = (ab)^{2} - (ca)^{2} - b^{2} \end{eqnarray*}$

Und dann weiß ich leider nicht mehr weiter, wie ich zu x auflöse...
Ich nehme mal an, ich bin komplett auf der falschen Spur?

Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar!!

09.04.2017, 17:04

IfindU

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RE: Berührungspunkt einer Tangente und einer Ellipse berechnen
Es sind sehr viele Parameter vorhanden, aber es ist eine einfache quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , daher pq-Formel oder abc-Formel, nachdem man die Gleichung auf die entsprechende Form gebracht hat.

09.04.2017, 17:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von MatheNoob^2
Entsprechend ist gegeben: a, b, -m, +c

Sicher, dass wirklich alle vier Werte gegeben sind? Dann ist das Problem überbestimmt, denn die Tangentensituation liegt genau dann vor, wenn die entstehende quadratischen Gleichung eine reelle Doppellösung besitzt.

P.S.: Oben haben sich allerdings einige Fehler bei der Umformung der Gleichung eingeschlichen. unglücklich

09.04.2017, 20:02

MatheNoob^2

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Ok, also ich hab es hinbekommen und auch überprüft!

Erstmal vielen Dank für die Hinweise, ohne die ich es wahrscheinlich nicht hinbekommen hätte!!

Nun zur Lösung:

Aufgabe: Tangente und Ellipse sind gegeben und es soll der Berührungspunkt ermittelt werden.

Tangentengleichung: $\begin{eqnarray*} y=mx+c \end{eqnarray*}$
Ellipsengleichung: $\begin{eqnarray*} b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2} \end{eqnarray*}$

Tangentengleichung in Ellipsengleichung einsetzen: $\begin{eqnarray*} b^{2}x^{2}+a^{2}(mx+c)^{2}=a^{2}b^{2} \end{eqnarray*}$
und das ganze Umstellen (diesmal richtig Big Laugh

): $\begin{eqnarray*} (a^{2}m^{2}+b^{2})x^{2}+2a^{2}mcx+a^{2}c^{2}-a^{2}b^{2}=0 \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac{-a^{2}mc\pm ab\sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}-c^{2}}}{a^{2}m^{2}+b^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{1/2}=\frac{b^{2}c\pm abm\sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}-c^{2}}}{a^{2}m^{2}+b^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{0}=\frac{-a^{2}mc}{a^{2}m^{2}+b^{2}}=-\frac{-a^{2}m}{c} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{0}=\frac{b^{2}c}{a^{2}m^{2}+b^{2}}=\frac{b^{2}}{c} \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich der gesuchte Berührungspunkt $\begin{eqnarray*} P(x|y): P(-\frac{a^{2}m}{c}|\frac{b^{2}}{c}) \end{eqnarray*}$

Edit (mY+): In der letzten Zeile LaTX-Tags gesetzt

Wink

10.04.2017, 18:30

klauss

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Alternativ sollte man daran denken, dass diese implizite Angabe der Ellipsengleichung erstmal dazu dient, die gesamte Ellipse zu beschreiben. Da nach den Zusatzbedingungen für den Berührpunkt dieser aber im 1. Quadranten liegen muß, genügt es, die obere Hälfte der Ellipse zu betrachten und die kann man in die gewohnte explizite Darstellung bringen mit
$\begin{align*} y=\sqrt{b^{2}-\frac{b^{2} }{a^{2} } x^{2} } \end{align*}$
Diese Funktion setzt man nun mit der Gerade gleich und bestimmt nach entsprechenden Umformungen die positive Lösung der quadratischen Gleichung.
Unter Beachtung des Hinweises von HAL 9000, dass die Diskriminante 0 sein muß, könnte man dann noch einen der beiden Geradenparameter c, m durch den anderen ausdrücken (Vorsicht: m < 0), so dass die Lösung des Berührpunkts nur noch 3 Parameter enthält und der 4. von diesen formelhaft abhängt.

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