Konvergenzradius von Cosinusfunktion

10.04.2017, 11:10

Ndw34

Konvergenzradius von Cosinusfunktion

Meine Frage:
Hallo alle zusammen wie kann ich den Konvergenzradius von Cos(n) z^n mit laufindex n=0 bis unendlich bestimmen?

Meine Ideen:
Ich würde Spontan an die Potenzreihe denken aber ich weiss es nicht genau

10.04.2017, 11:14

HAL 9000

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Verwende Cauchy-Hadamard, d.h. $\begin{align*} R = \frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|\cos(n)|}} \end{align*}$ .

10.04.2017, 11:38

Ndw34

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Vielen Dank für die schnelle Antwort smile

Ich komme beim konvergenzradius etwas durcheinander. Wie ist es denn nun mal wird gesagt das ich Formal z^n mit betrachten muss und dann wird es aber sehr oft einfach weggelassen.

Und warum 1/...?

Also verstehe ich das richtig wenn ich ganz normal den Grenzwert a von der Reihe bestimme muss ich z^n mit betrachten und muss folgende fälle unterscheiden

R= 1. 1/a Falls. a element (0;unendlich) ( deswegen in deinem fall 1/... direkt angewendet weil du schon gesehen hast das a in dem Intervall sein muss ? verwirrt

)

2. unendlich Falls a= 0

3. 0 Falls a = unendlich

Stimmen meine Überlegungen?

Ps: dann wäre ja der Konvergenzradius 1 weil lim sup von Cosinus ist ja 1 und lim inf wäre ja -1 oder ?

10.04.2017, 11:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ndw34
Ps: dann wäre ja der Konvergenzradius 1 weil lim sup von Cosinus ist ja 1

Genauso ist es. Und der liminf interessiert hier nicht.

10.04.2017, 11:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ndw34
Ich komme beim konvergenzradius etwas durcheinander. Wie ist es denn nun mal wird gesagt das ich Formal z^n mit betrachten muss und dann wird es aber sehr oft einfach weggelassen.

Wenn du die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum a_n z ^n \end{eqnarray*}$ betrachtest, kannst du die Cauchy-Hadamard-Formel verwenden. Für andere Reihen mußt du für Konvergenzuntersuchungen den kompletten Summanden verwenden.

Zitat:

Original von Ndw34
Und warum 1/...?

Weil das eben die Cauchy-Hadamard-Formel so will.

Zitat:

Original von Ndw34
Also verstehe ich das richtig wenn ich ganz normal den Grenzwert a von der Reihe bestimme muss ich z^n mit betrachten und muss folgende fälle unterscheiden

Was soll jetzt das a sein? Der Grenzwert der Reihe oder doch etwas anderes?

10.04.2017, 12:06

Ndw34

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Ja aber theoretisch gesehen kann ich ja jede Reihe in diese Form bringen und danach die Cauchy Formel verwenden .. a ist der Grenzwert der Reihe

10.04.2017, 12:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ndw34
Ja aber theoretisch gesehen kann ich ja jede Reihe in diese Form bringen

Ja?

Auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} z^{\sqrt n \cdot sin(n)} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Ndw34
a ist der Grenzwert der Reihe

Hm.

Dann paßt das aber nicht:

Zitat:

Original von Ndw34
R= 1. 1/a Falls. a element (0;unendlich) ( deswegen in deinem fall 1/... direkt angewendet weil du schon gesehen hast das a in dem Intervall sein muss ? verwirrt

)

2. unendlich Falls a= 0

10.04.2017, 15:26

Ndw34

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Also ist die Formel von Cauchy nur anzuwenden wenn die Reihe schon in der Form ist ?
Das ganze ist irgendwie verwirrend verwirrt

Formal gesehen muss ich doch das z^n stets mitbetrachten oder ?

10.04.2017, 15:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ndw34
Also ist die Formel von Cauchy nur anzuwenden wenn die Reihe schon in der Form ist ?

Die Cauchy-Hadamard-Formel ist für Potenzreihen gedacht, und die sind per se "schon in der Form".

Natürlich nicht in jeder denkbaren Darstellungsform: So ist z.B. $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} k z^{k^2} \end{align*}$ auch eine Potenzreihe, der zugehörige Koeffizient in der Standarddarstellung $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n z^n \end{align*}$ ist allerdings

$\begin{align*} a_n = \begin{cases} k & \;\mbox{falls $n=k^2$ mit natürlichem}\;k\\ 0 & \;\mbox{sonst}\end{cases} = \begin{cases} \sqrt{n} & \;\mbox{falls $n=k^2$ mit natürlichem}\;k\\ 0 & \;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$

weil die Potenzen $\begin{align*} z^n \end{align*}$ , wo $\begin{align*} n \end{align*}$ keine Quadratzahl ist, auch mit einem Koeffizienten versehen werden müssen, der dann allerdings gleich Null ist, weil diese Potenzen ja in $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} k z^{k^2} \end{align*}$ nicht wirklich auftauchen. Augenzwinkern

P.S. (für Interessierte): Auch wenn es für die Aufgabe hier nicht benötigt wird, hat mich der obige irrelevante Hinweis auf "liminf" zu folgender Frage geführt: Gilt $\begin{align*} \liminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{|\cos(n)|} = 1 \end{align*}$ ?

Ich vermute ja, aber ein schlüssiger Nachweis ist wahrscheinlich nicht ohne: Es müsste ausgeschlossen werden, dass ein $\begin{align*} q<1 \end{align*}$ sowie zugehörig unendlich viele Indizes $\begin{align*} n_k \end{align*}$ mit $\begin{align*} \left|\cos(n_k)\right| < q^{n_k} \end{align*}$ existieren. Oder anders formuliert: Die diophantische Ungleichung $\begin{align*} \left| n - \frac{\pi}{2}(2m+1) \right| < q^n \end{align*}$ hat für gegebenes $\begin{align*} q\in (0,1) \end{align*}$ nur endlich viele Lösungspaare $\begin{align*} (m,n)\in\mathbb{N}^2 \end{align*}$ . Augenzwinkern

12.04.2017, 10:26

Ndw

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Ich habe noch ne klein frage wenn ich das beweisen will das der Konvergenzenradius 1 ist geht das so

1= lim sup wurzel n( |-1| <= lim sup wurzel n (cos (n) ) <= lim sup wurzeln n (1) = 1

Geht das ?

12.04.2017, 11:13

HAL 9000

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Das kann nur beantworten, wer deine Formelsprache versteht. Ich gehöre nicht dazu.

12.04.2017, 16:41

Ndw

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Tut mir leid war unterwegs ...

$\begin{eqnarray*} 1= \lim_{n \to \infty } sup \sqrt[n]{|-1|} \leq \lim_{n \to \infty } sup \sqrt[n]{|cos(n)|} \leq \lim_{n \to \infty } sup \sqrt[n]{1}=1 \end{eqnarray*}$

Und jetzt ?

12.04.2017, 16:53

HAL 9000

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Anscheinend scheinst du in $\begin{align*} -1\leq \cos(n)\leq 1 \end{align*}$ einfach die Beträge zu setzen und daraus $\begin{align*} |-1| \stackrel{?}{\leq} |\cos(n)|\leq 1 \end{align*}$ , also $\begin{align*} 1\stackrel{?}{\leq} |\cos(n)|\leq 1 \end{align*}$ und damit $\begin{align*} |\cos(n)|\stackrel{?}{=}1 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n \end{align*}$ schlussfolgern zu wollen...

Das ist natürlich kompletter Unsinn, die Betragsfunktion ist nur auf $\begin{align*} [0,\infty) \end{align*}$ monoton wachsend, also insbesondere nicht auf $\begin{align*} [-1,0] \end{align*}$ . unglücklich

Für die nachzuweisende Eigenschaft $\begin{align*} \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|\cos(n)|} = 1 \end{align*}$ ist es u.a. hinreichend eine positive Zahl $\begin{align*} c \end{align*}$ anzugeben, so dass für unendlich viele Indizes $\begin{align*} n \end{align*}$ die Ungleichung $\begin{align*} |\cos(n)|\geq c \end{align*}$ gilt. Und das kann so schwer nicht sein.

12.04.2017, 18:20

Ndw

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Ich glaube c muss 0 sein verwirrt

12.04.2017, 18:40

HAL 9000

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Seit wann ist 0 denn eine positive Zahl? Finger1

Ich hab nicht gesagt, dass du irgendeine reelle Zahl $\begin{align*} c \end{align*}$ suchen sollst, so dass für alle $\begin{align*} n \end{align*}$ die Ungleichung $\begin{align*} |\cos(n)|\geq c \end{align*}$ , sondern folgendes:

Zitat:

Original von HAL 9000
ist es u.a. hinreichend eine positive Zahl $\begin{align*} c \end{align*}$ anzugeben, so dass für unendlich viele Indizes $\begin{align*} n \end{align*}$ die Ungleichung $\begin{align*} |\cos(n)|\geq c \end{align*}$ gilt.

"Unendlich viele" ist was völlig anderes als "alle". Z.B. gibt es unendlich viele gerade Zahlen, aber das sind dann noch lange nicht alle natürlichen Zahlen.

----------------------------

Zur Erklärung, warum das hinreichend ist: Seien nämlich $\begin{align*} (n_k)_{k=1,2,\ldots} \end{align*}$ jene unendlich vielen Indizes mit $\begin{align*} |\cos(n_k)|\geq c \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k \end{align*}$ . Dann ist $\begin{align*} 1\geq \sqrt[n_k]{|\cos(n_k)|}\geq \sqrt[n_k]{c} \end{align*}$ und daher im Grenzübergang per Sandwich

$\begin{align*} \lim_{k\to\infty} \sqrt[n_k]{|\cos(n_k)|}\geq \lim_{k\to\infty} \sqrt[n_k]{c} = 1 \end{align*}$ ,

daraus folgt unmittelbar $\begin{align*} \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|\cos(n)|}\geq 1 \end{align*}$ .

Mit $\begin{align*} c=0 \end{align*}$ klappt diese Argumentation natürlich nicht. Forum Kloppe

31.07.2017, 19:00

Stella231

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Hallo Hal9000

Ich muss auch den Konvergenzradius von Cos ausrechnen und sah diesen Beitrag und ich frage mich seit längerem was denn C nun ist ? verwirrt

31.07.2017, 19:28

Stella231

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Warum ist der Konvergenzradius vom Kosinus wenn ich die Potenzreihe von Kosinus benutze = unendlich und nach Hal9000 ist der 1 ?

31.07.2017, 19:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Stella231
und ich frage mich seit längerem was denn C nun ist ? verwirrt

Hmm, auch du hast nicht verstanden, worum es geht:

Jedes $\begin{align*} c>0 \end{align*}$ reicht dafür! Das Problem ist der Nachweis, dass es tatsächlich unendlich viele $\begin{align*} n \end{align*}$ mit $\begin{align*} |\cos(n)|\geq c \end{align*}$ gibt.

Aber ich geb mal einen Tipp: Wählt man speziell $\begin{align*} c=\sin\left(\frac{1}{2}\right) \end{align*}$ , dann kann man nachweisen, dass $\begin{align*} \max\left\{|\cos(n)|,|\cos(n+1)|\right\} \geq c \end{align*}$ gilt, und damit also von zwei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen wenigstens eine die geforderte Bedingung erfüllt, womit man letzlich auch unendlich viele solche natürlichen Zahlen findet.

Zitat:

Original von Stella231
Warum ist der Konvergenzradius vom Kosinus wenn ich die Potenzreihe von Kosinus benutze = unendlich und nach Hal9000 ist der 1 ?

Hier vergleichst du Äpfel mit Birnen: Die Kosinus-Potenzreihe hat nun mit der Reihe hier im Thread nichts, aber auch gar nichts zu tun. unglücklich

Insbesondere dieses der ist also komplett neben der Spur. Finger2

31.07.2017, 19:46

Stella231

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Cos(n)z^n da kann ich ja auch einfach die Potenzreihe von Cosinus benutzen verwirrt

die Potenzreihe von Cosinus ist doch die selbe wie Cos(n)z^n LOL Hammer

31.07.2017, 20:02

HAL 9000

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letzter Versuch
Potenzreihe Kosinus: $\begin{align*} \cos(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} \end{align*}$

Hier zu betrachtende Potenzreihe: $\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} \cos(n) z^n \end{align*}$

Und du bist nach wie vor der Meinung, dass beides dieselben Potenzreihen sind? Erstaunt1

EDIT: Langsam dämmert es mir, dass es dir tatsächlich um die Kosinus-Potenzreihe geht statt um die Reihe hier im Thread. Damit hast du dich in den vollkommen falschen Thread eingeklinkt. unglücklich

31.07.2017, 20:24

Stella231

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RE: letzter Versuch
Achso nein Big Laugh

Ich bin ja sehr dumm traurig

Kann man nicht anders Beweisen das der Konvergenzradius von der Reihe 1 ist ?

Ich hätte an sowas gedacht:

lim |cos| <= lim 1 =1 so können wir Cosinus nach oben abschätzen

Und nun brauche ich einfach nur eine untere schranke für den Cosinus das auch dem grenzwert 1 hat würde das nicht gehen ?

31.07.2017, 20:45

HAL 9000

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RE: letzter Versuch

Zitat:

Original von Stella231
lim |cos| <= lim 1 =1 so können wir Cosinus nach oben abschätzen

Und nun brauche ich einfach nur eine untere schranke für den Cosinus das auch dem grenzwert 1 hat würde das nicht gehen ?

Ich verstehe deine Kurzsymbolik nicht, das geht schon bei lim |cos| los: Was soll das sein?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} |\cos(n)| \end{eqnarray*}$ jedenfalls nicht, denn dieser Grenzwert existiert gar nicht.

31.07.2017, 20:50

Stella231

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RE: letzter Versuch
Ja dann halt limes (n nach unendlich) sup |cos(n)| ..
und jetzt?

31.07.2017, 20:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Stella231
und jetzt?

Weiß ich nicht - es ist doch dein Plan, ein dünneres Brett als oben bohren zu können. Also musst du ihn schon etwas besser erläutern - ich hab nämlich bisher nicht verstanden, worauf du abzielst.

31.07.2017, 21:11

Stella231

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Ok dann nochmal:

Ich habe eine Abschätzung nach oben für den cosinus gemacht und zwar

$\begin{eqnarray*} |cos(n)| \leq 1 \end{eqnarray*}$

Und nun suche ich Eine Abschätzung nach unten für den Cosinus dessen Grenzwert 1 ist.

Denn dann haben wir :

Sei (an) eine Folge was gegen 1 Konvergiert und es gelte für alle n element N : an <= |cos(n)|

Und dann hätten wir

1 = lim (n gegen unendlich) an <= |cos(n)| <= 1

Und nach dem Sandwich lemma würde der Grenzwert von |cos(n)| = 1 Sein.

Aber so eine Folge an finde ich nunmal nicht

31.07.2017, 21:12

HAL 9000

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Mein Plan oben läuft darauf hinaus, lediglich $\begin{align*} \limsup_{n\to\infty} |\cos(n)| > 0 \end{align*}$ nachzuweisen, weil das bereits hinreichend ist für Konvergenzradius 1 der hier zu betrachtenden Potenzreihe.

Du hingegen meinst, es ist einfacher $\begin{align*} \limsup_{n\to\infty} |\cos(n)| = 1 \end{align*}$ nachzuweisen. Diese Behauptung ist zweifelsohne richtig, aber m.E. wesentlich schwerer nachzuweisen - aber nur zu, schildere deine Idee!

EDIT: Ok, ein möglicher Beweis von $\begin{align*} \limsup_{n\to\infty} |\cos(n)| = 1 \end{align*}$ :

Aus dem Dirichletschen Approximationssatz folgt, dass es unendlich viele Paare $\begin{align*} (p,q) \end{align*}$ ganzer Zahlen mit

$\begin{align*} \left| 2\pi - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^2}\qquad (*) \end{align*}$

gibt. Wir wählen nun eine solche Folge $\begin{align*} ((p_k,q_k))_{k=1,2,\ldots} \end{align*}$ mit $\begin{align*} 1\leq q_1<q_2<\ldots \end{align*}$ , es ist dann zwangsläufig auch $\begin{align*} p_1<p_2<\ldots \end{align*}$ . Damit kann man dann abschätzen

$\begin{align*} 1\geq \cos\left(p_k\right) = \cos\left(p_k-2\pi q_k\right) = \cos\left(\left| p_k-2\pi q_k \right| \right) \stackrel{(*)}{>} \cos\left( \frac{1}{q_k} \right) \end{align*}$ .

Wegen $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} \cos\left( \frac{1}{q_k} \right) = 1 \end{align*}$ folgt dann per Sandwich $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} \cos\left(p_k\right) = 1 \end{align*}$ , woraus unmittelbar $\begin{align*} \limsup_{n\to\infty} |\cos(n)| = 1 \end{align*}$ folgt.

P.S.: Ein mögliche Wahl für $\begin{align*} (p_k,q_k) \end{align*}$ sind die Näherungsbrüche $\begin{align*} \frac{p_k}{q_k} \end{align*}$ der Kettenbruchentwicklung von $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ . Die ersten dieser Näherungsbrüche sind

$\begin{align*} \begin{array}{|r|r|r|l|}\hline k & p_k & q_k & 1-\cos(p_k) \hline 1 & 6 & 1 & 0.0398 2 & 19 & 3 & 0.0113 3 & 25 & 4 & 0.00880 4 & 44 & 7 & 1.57\cdot 10^{-4} 5 & 333 & 53 & 3.89\cdot 10^{-5} 6 & 710 & 113 & 1.82\cdot 10^{-9} 7 & 103993 & 16551 & 1.83\cdot 10^{-10} 8 & 312689 & 49766 & 4.21\cdot 10^{-12} \hline\end{array} \end{align*}$ .

Für diese Kettenbruchnäherungen gilt sogar $\begin{align*} \left| p_k-2\pi q_k \right| < \frac{1}{q_{k+1}} \end{align*}$ , womit man dann weiter

$\begin{align*} 1 > \cos(p_k) > \cos\left( \frac{1}{q_{k+1}} \right) > 1-\frac{1}{2q_{k+1}^2} \end{align*}$

abschätzen kann.

31.07.2017, 21:55

Stella231

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oh ok das sieht Kompliziert aus damit ich das verstehe brauche ich ein bisschen Zeit.. verwirrt

Aber deine andere Idee habe ich glaube ich etwas besser verstanden wenn nämlich der limes superior von |cos(n)| >0 ist heißt das eigentlich das er zwangsläufig 1 sein muss und nach der Formel von Cauchy-Hadamard ist der Konvergenzradius 1 ich hoffe wenigstens das habe ich richtig verstanden Big Laugh

31.07.2017, 22:06

Stella231

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Es gilt doch

1-1/n <= | cos(n) |

und der Grenzwert von 1-1/n ist 1...

könnte ich also nicht die Folge an:=1-1/n nehmen ?

und stimmt das was ich unten schrieb ?

31.07.2017, 22:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von Stella231
1-1/n <= | cos(n) |

Unfug, das ist für fast alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ falsch, erstmalig für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{2} = 0.5 > 0.416 = |\cos(2)| \end{eqnarray*}$

Hast du überhaupt irgendwie eine vage Vorstellung, was $\begin{align*} n\to\cos(n) \end{align*}$ für eine Folge ist? Plotten wir doch mal die ersten 20 Werte:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:

0	1
1	0,540302306
2	-0,416146837
3	-0,989992497
4	-0,653643621
5	0,283662185
6	0,960170287
7	0,753902254
8	-0,145500034
9	-0,911130262
10	-0,839071529
11	0,004425698
12	0,843853959
13	0,907446781
14	0,136737218
15	-0,759687913
16	-0,95765948
17	-0,275163338
18	0,660316708
19	0,988704618
20	0,408082062

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