Mosaik Rätsel

11.04.2017, 14:21

fasi

Mosaik Rätsel

Meine Frage:
Ich muss einen mathematischen, allgemeingültigen Beweis für das folgende Rätsel erbringen:

Ein quadratisches Mosaik mit der Seitenlänge von 5 Einheiten wird in 25 Felder unterteilt (siehe Grafik). Am Anfang besteht das Mosaik nur aus weißen Steinen, soll jedoch später noch das in der Abbildung dargestellte Schachbrettmuster erreichen soll.

Für die Bestückung des Mosaiks gelten folgende Regeln:
Für einen jeden Bestückungsschritt ist es erlaubt, die Farben von drei in einer waagrechten oder senkrechten Linie aneinander grenzenden Feldern zu tauschen (d.h. weiße Steine werden schwarz und schwarze werden weiß).

Nun zur eigentlichen Frage:
Was ist die kleinste Anzahl an Bestückungschritten, die man braucht, um das in der Grafik gezeigte Schachbrettmuster zu erreichen?

Stelle eine Formel auf, die die kleinste Anzahl an Schritten berechnet.

[attach]44271[/attach]

Meine Ideen:
Ich habe das Rätsel grafisch gelöst, und bin auf 8 Schritte gekommen. Nur weiß ich überhaupt nicht, wie ich dafür eine Formel zur Berechnung der kleinsten Anzahl an Schritte aufstellen soll.

Ich würde mich über eine jede Hilfestellung freuen smile

[attach]44272[/attach]

11.04.2017, 14:45

HAL 9000

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"Formel" ist vielleich etwas hochtrabend formuliert, aber es lässt sich zumindest schlüssig begründen, warum es mit weniger als 8 Bestückungsschritten nicht geht. Augenzwinkern

11.04.2017, 15:28

fasi

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Ja, aber es müsste doch irgendwie möglich sein diese Erkenntnis in Form einer mathematischen Formel anzugeben. verwirrt

Vielleicht kann mir ja einer von euch dabei helfen smile

11.04.2017, 15:30

HAL 9000

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Na dann: 4 * 2 = 8

11.04.2017, 16:23

fasi

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Ich meinte natürlich die Darstellung sämtlicher Rechnungsschritte in Form einer Formel, sodass man, auch wenn man das Muster ändern würde, die Rechnungsschritte rausbekommen könnte Lehrer

18.04.2017, 10:21

HAL 9000

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Kann ich nicht bieten: Die Begründung ist speziell auf dieses Muster zugeschnitten und nur mit zusätzlichen Anstrengungen für andere Muster hilfreich.

Vor allem hast du nicht gesagt, welche anderen Mustern sowie Feldgrößen du da meinst: Oben ist nur von dem Schachbrettmuster auf dem 5x5-Feld die Rede. verwirrt

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Die Begründung für Minimalzahl 8 lautet jedenfalls so:

Zitat:

Die mittleren drei Felder jeder Außenkante (kurz: Mittelkante) besitzen zu Beginn die Färbung www und müssen nach Abschluss aller Schritte Färbung sws zeigen.

Wieviele Bestückungsschritte, die mindestens eines dieser drei Felder betreffen, sind nun nötig, um zu diesem sws zu kommen? Es sind mindestens zwei, denn mit einem Schritt kommt man nur zu sww, wsw, wws oder sss.

Nun gibt es aber keinen Bestückungsschritt, der zugleich auf mehr als eine Mittelkante einwirkt, d.h., die für alle vier Mittelkanten nötigen jeweils zwei Bestückungsschritte unterscheiden sich sämtlich voneinander, damit sind mindestens 4*2 = 8 solche Schritte nötig. Dass es dann auch mit 8 bereits geht, zeigt die Anordnung im Eröffungsposting.

So der Beweis für das konkrete 5x5-Feld mit dem konkreten Schachbrettmuster. Eine einfache Erweiterung auf beliebige $\begin{align*} m\times n \end{align*}$ -Felder oder gar beliebige Muster darauf halte ich für schwierig...

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