PI mit Hilfe von Polygone approximieren

14.04.2017, 15:52

Probability

PI mit Hilfe von Polygone approximieren

Hallo zusammen,

man kann ja PI durch zwei verschachtelte Polygone annähern. Also ein kleiners Polynom ist innerhalb des größeren Polynoms.

Man kann den Umfang für ein 2n-polygon von einem n-polygon folgendermaßen berechnen:
$\begin{eqnarray*} c_{2n}=2\sqrt{2n^2-n\sqrt{(2n)^2-c_n^2}} \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} C_{2n}=\frac{4nC_n}{2n+\sqrt{(2n)^2+C_n^2}} \end{eqnarray*}$

Wobei für das innere Polyong z.B. $\begin{eqnarray*} c_4 = 4 \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und fürs äußere Polygon $\begin{eqnarray*} C_4 = 8 \end{eqnarray*}$ gilt.

1. Was ich nicht verstehe ist, was mit $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c_{2n} \end{eqnarray*}$ überhaupt gemeint ist. Sind das also wirklich die Umfänge von den Polygonen? Aber warum braucht ich da 2n und n dafür?

2. Und wie hängt da genau jetzt $\begin{eqnarray*} c_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_4 \end{eqnarray*}$ zusammen?

Kann mir jemand bitte weiterhelfen?

Gruß
Probability

14.04.2017, 16:29

HAL 9000

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nicht so lesefaul, bitte!

Zitat:

Original von Probability
1. Was ich nicht verstehe ist, was mit $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c_{2n} \end{eqnarray*}$ überhaupt gemeint ist.

Ich würde mal vorschlagen, dass du nicht nur die Formeln, sondern auch noch deren Umfeld in deinem Text liest. Da wird bestimmt erklärt, was mit $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

14.04.2017, 17:31

Probability

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Hey danke! Ja stimmt, habe meinen Anfangspost wirklich sehr mager gestaltet, sorry.

Also es handelt sich eigentlich um eine Programmieraufgabe, jedoch habe ich dazu nur den Text im Anhang bekommen. Und ich möchte einfach den ungefähren mathematischen Hintergrund wissen bzw. verstehen.

Also aus dem Text lese ich folgendes heraus:
Es werden Polygone so angeordnet wie auf dem Bild links. Also äußere und innere Polygone, wobei der Einheitskreis genau die Ecken des inneren Polygons berührt.

Und dann steht noch, dass der Umfang der 2n-polygone mit Hilfer der n-polygone berechnet werden können. (Das sind halt die $\begin{eqnarray*} c_{2n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_{2n} \end{eqnarray*}$ Formeln).

Und wie man sieht nähert sich für große n $\begin{eqnarray*} c_n/2 \end{eqnarray*}$ aufwärtssteigend dem PI und bei $\begin{eqnarray*} C_n/2 \end{eqnarray*}$ abwärtssteigend dem PI. Und jetzt will ich verstehen, was der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} C_n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} c_{2n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_{2n} \end{eqnarray*}$ ist.

1. Also c oder C ist denke ich mal der Umfang des Polygons oder? Und das klein c steht für das innere Polygon und groß C für das äußere Polygon. Aber: Wenn von einem n-polygon die Rede ist, dann hat es ja n Ecken laut dieser "Definition" nach Wikipedia. Und das klingt auch am logischten. Also muss das 2n-polygon immer 2mal soviele Ecken haben wie das n-polygon. Richtig?

2. Und dann gibt es noch den Hinweis, wie das Innere und äußere Polynom zusammehängt:
$\begin{eqnarray*} c_4=4\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_4=8 \end{eqnarray*}$ . Also klar, dass der Umfang des äußeren Polynoms größer als der des Inneren ist. Die Frage ist jetzt, wie man das verallgemeinern kann. $\begin{eqnarray*} c_n = n\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_n = 2n \end{eqnarray*}$ - Etwas so?

3. Also ich bin mir halt nicht ganz sicher, warum ich das $\begin{eqnarray*} c_{2n} \end{eqnarray*}$ überhaupt einführe, wenn ich dann zur Approximation anscheinend eh nur $\begin{eqnarray*} c_n/2 \end{eqnarray*}$ benutze?

Vllt wisst ihr auch einen Beitrag im Inernet zu dem Thema, der Grundlegende Sachen klärt. Ich bin leider nicht fündig geworden.

Gruß
Probability

14.04.2017, 19:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Probability
1. Also c oder C ist denke ich mal der Umfang des Polygons oder? Und das klein c steht für das innere Polygon und groß C für das äußere Polygon. Aber: Wenn von einem n-polygon die Rede ist, dann hat es ja n Ecken laut dieser "Definition" nach Wikipedia. Und das klingt auch am logischten. Also muss das 2n-polygon immer 2mal soviele Ecken haben wie das n-polygon. Richtig?

Richtig, c für innen, C für außen, und der Index steht für die Eckenzahl.

Zitat:

Original von Probability
Die Frage ist jetzt, wie man das verallgemeinern kann. $\begin{eqnarray*} c_n = n\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_n = 2n \end{eqnarray*}$ - Etwas so?

Nein, hier muss man nicht raten, hier kann man rechnen. Es gibt explizite Formeln für diese Umfänge, die sich aus einfachen trigonometrischen Betrachtungen zum regelmäßigen $\begin{align*} n \end{align*}$ -Eck ergeben:

$\begin{align*} c_n &= 2n\sin\left( \frac{\pi}{n}\right)\\ C_n &= 2n\tan\left( \frac{\pi}{n}\right) \end{align*}$ .

Aber man kann auch rekursive Formeln dafür entwickeln, z.B. eben jene aus deinem Scan.

Zitat:

Original von Probability
3. Also ich bin mir halt nicht ganz sicher, warum ich das $\begin{eqnarray*} c_{2n} \end{eqnarray*}$ überhaupt einführe, wenn ich dann zur Approximation anscheinend eh nur $\begin{eqnarray*} c_n/2 \end{eqnarray*}$ benutze?

Du missverstehst: Das ist keine "Einführung" - eingeführt ist der Wert durch seine Definition. Es ist eine rekursive Möglichkeit, den Umfang des 2n-Ecks aus dem Umfang des n-Ecks zu bestimmen. Z.B. hast du mit $\begin{eqnarray*} c_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_4 \end{eqnarray*}$ die Umfänge des Innen- und Außen-Vierecks (also Quadrat) hier vorgegeben, mit den Formeln kannst du dann leicht die Umfänge der 8-Ecke, 16-Ecke, 32-Ecke usw. bestimmen und somit schon in etwa sehen, wohin die Reise hinsichtlich $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ geht, irgendwie ja in Richtung Kreisumfang...

14.04.2017, 20:04

Probability

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Danke für deine Antwort!

Achso, d.h. im Grunde mein Startwert ist das Viereck mit n=4. Also kann ich mir den Umfang des 8-Ecks ausrechnen und dann den des 16-Ecks etc.

Und warum muss ich die Umfänge halbieren, um auf Pi zu kommen? Also so ist es ja in der Tabelle gezeigt.

14.04.2017, 21:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Probability
Und warum muss ich die Umfänge halbieren, um auf Pi zu kommen?

Denkst du auch mal eine Sekunde selbst nach, bevor du fragst?

Ein Kreis mit dem Radius 1 hat welchen Umfang? Richtig, $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ . Was also muss man tun, um damit auf $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ zu kommen? Forum Kloppe

15.04.2017, 08:12

Leopold

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Viel übersichtlicher und numerisch stabiler sind die folgenden Formeln (bei mir sind $\begin{align*} u_n \end{align*}$ und $\begin{align*} U_n \end{align*}$ schon die halben Umfänge, $\begin{align*} h_n \end{align*}$ (=Höhe) ist die Länge der Lotstrecke, die man vom Kreismittelpunkt auf eine Sehne des einbeschriebenen $\begin{align*} n \end{align*}$ -Ecks fällt):

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ U_n = \frac{u_n}{h_n} \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ h_{2n} = \sqrt{\frac{1}{2} \left( 1 + h_n \right)} \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(3)} \ \ u_{2n} = \frac{u_n}{h_{2n}} \end{align*}$

Man kann mit dem Quadrat starten: $\begin{align*} u_4 = 2 \sqrt{2} \, , \ h_4 = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{align*}$

Oder mit dem Sechseck: $\begin{align*} u_6 = 3 \, , \ h_6 = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$

Im Falle des Quadrats erhält man das Vieta-Produkt beziehungsweise dessen Kehrwert.

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