Basisisomorphismus

15.04.2017, 17:22	nitramus	Auf diesen Beitrag antworten »
Basisisomorphismus Kann mir jemand auf einfache Art und Weise, am besten am Beispiel erklären, was ein Basisisomorphismus ist?
15.04.2017, 17:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schätze, das ist ein ad-hoc-Begriff, der sich nur aus dem Kontext erschließt. Bitte gib diesen Kontext an.
15.04.2017, 18:36	nitramus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe leider keinen richtigen Kontext, der Begriff begegnet mir nur immer wieder. Und ich würde gerne wissen, was er am ganz konkreten Beispiel (also z.B. im $\begin{eqnarray} \mathrm{R}^2 \end{eqnarray}$ mit der Basis $\begin{eqnarray} ((1, 2), (3, 4)) \end{eqnarray}$ ) auf sich hat. P.S.: Und was kanonisch genau bedeutet, würde ich auch gerne wissen
15.04.2017, 18:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Kanonisch wird in der Mathematik ein Vorgehen oder ein Ansatz bezeichnet, der naheliegend, natürlich, ungekünstelt ist. Beispiel 1 (kanonische Basis) Der $\begin{align} \mathbb{R}^3 \end{align}$ als Vektorraum hat viele Basen. Wenn man sonst nirgendwo eine unmittelbar sieht, dann ist doch $\begin{align} e_1 = (1,0,0), \, e_2 = (0,1,0), \, e_3 = (0,0,1) \end{align}$ das Nächstliegende, also die kanonische Basis. Beispiel 2 (kanonischer Epimorphismus) Wenn $\begin{align} U \end{align}$ ein Unterraum des Vektorraums $\begin{align} V \end{align}$ ist, dann mag es ja viele surjektive Homomorphismen von $\begin{align} V \end{align}$ auf den Faktorraum $\begin{align} V/U \end{align}$ geben. Aber der einfachste ist sicherlich derjenige, der jedem Element $\begin{align} v \in V \end{align}$ seine Restklasse modulo $\begin{align} U \end{align}$ zuordnet. Beispiel 3 Die Menge $\begin{align} \mathbb{N} \end{align}$ der natürlichen Zahlen $\begin{align} 1,2,3,\ldots \end{align}$ ist gleichmächtig zur Menge der $\begin{align} G \end{align}$ geraden Zahlen $\begin{align} 2,4,6,\ldots \end{align}$ Was würdest du wohl hier als die kanonische Bijektion zwischen $\begin{align} \mathbb{N} \end{align}$ und $\begin{align} G \end{align}$ nehmen? Zum "Basisisomorphismus" weiß ich immer noch nicht genug, um diesen Begriff beurteilen zu können. Vielleicht geht es ja um zwei Vektorräume über demselben Körper mit vorgegebenen geordneten gleichmächtigen Basen. Dann kann man einen kanonischen Isomorphismus angeben, indem man die Basiselemente der Reihe nach einander zuordnet und die Abbildung linear fortsetzt. Aber ob das wirklich gemeint ist - dazu fehlen noch weitere Informationen.
16.04.2017, 11:10	nitramus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ersmal danke für deine Erläuterungen. Nochmal zum Basisisomorphimus, ich habe mal gewühlt: B Basis von K-Vektorraum $\begin{eqnarray} \Phi : K^n \rightarrow V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a_i)_{i=1}^{n} \mapsto \sum_{i=1}^{n} a_i v_i \end{eqnarray}$ Das Problem fängt schon an, dass ich nicht wirklich weiß, was $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ ist und was diese $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ s sind.
16.04.2017, 11:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
In meinem vorigen Beitrag habe ich bei Beispiel 1 für $\begin{align} K = \mathbb{R} \end{align}$ und $\begin{align} n=3 \end{align}$ gehabt, das sind also einfach Tripel reeller Zahlen. Und im allgemeinen Fall sind es $\begin{align} n \end{align}$ -Tupel: $\begin{align} \left( a_i \right)_{i=1}^n = \left( a_1 , a_2 , a_3, \ldots, a_n \right) \end{align}$ Für einen Körper $\begin{align} K \end{align}$ ist $\begin{align} K^n \end{align}$ in kanonischer Weise ein $\begin{align} K \end{align}$ -Vektorraum (ganz wie der $\begin{align} \mathbb{R}^3 \end{align}$ ein $\begin{align} \mathbb{R} \end{align}$ -Vektorraum ist). Durch die Abbildung $\begin{align} \Phi \end{align}$ wird die Struktur des $\begin{align} K^n \end{align}$ kanonisch auf $\begin{align} V \end{align}$ übertragen (wobei $\begin{align} v_1,v_2,\ldots,v_n \end{align}$ eine geordnete Basis von $\begin{align} V \end{align}$ zu sein scheint). Das ist dann wohl mit dem Basisisomorphismus gemeint. Beispiel $\begin{align} V \end{align}$ sei der dreidimensionale Vektorraum der reellen Polynom von einem Grad $\begin{align} \leq 2 \end{align}$ . Vielleicht kennst du dieses Beispiel. Jetzt kann man sich irgendeine Basis vorgeben, zum Beispiel die Polynome $\begin{align} p_0,p_1,p_2 \end{align}$ mit $\begin{align} p_0(x) = 16 \, , \ \ p_1(x) = 16x + 4 \, , \ \ p_2(x) = 16x^2 + 4x + 2017 \end{align}$ Dann ist $\begin{align} \Phi: \mathbb{R}^3 \to V \, , \ \ \left( a_0,a_1,a_2 \right) \mapsto a_0 p_0 + a_1 p_1 + a_2 p_2 \end{align}$ der Basisisomorphismus bezüglich $\begin{align} p_0,p_1,p_2 \end{align}$ . Der Basisisomorphismus hängt natürlich von der speziell in $\begin{align} V \end{align}$ gewählten Basis ab: andere Basis - anderer Isomorphismus.
Anzeige

17.04.2017, 12:33	nitramus	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal danke für deine ausführliche Antwort, das hat viel geholfen Zwei Fragen hätte ich da noch: 1) Wozu ist der Basisisomorphismus nützlich? Bzw. wo finde ich Übungsaufgaben zu dem Thema? 2) Wie muss ich mir $\begin{eqnarray} \Phi^{-1} \end{eqnarray}$ vorstellen? Und wozu ist diese nützlich?

1

Verwandte Themen