Varianz n-dimensionale Normalverteilung

16.04.2017, 11:15	NichtRegUser	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz n-dimensionale Normalverteilung Es seien $\begin{eqnarray} R_i \end{eqnarray}$ für 0,1,..,n i.i.d. $\begin{eqnarray} N(0,\sigma^2) \end{eqnarray}$ verteilte Zuvallsvariablen und $\begin{eqnarray} \rho \in [0,1] \end{eqnarray}$ . Berechne die Varianz für $\begin{eqnarray} Z_n := \frac{1}{n} \sum^n_{i=1} X_i \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X_i = \rho R_0 + (1-\rho) R_i \end{eqnarray}$ Hallo Leute, Durch "Einsetzen" habe ich $\begin{eqnarray} Z_n \end{eqnarray}$ mal anders aufgeschrieben. $\begin{eqnarray} Z_n = \rho R_0 + \frac{1}{n} (1-\rho)(R_1 + R_2 + ... +R_n) \end{eqnarray}$ Aus der Aufgabenstellung folgt, dass die Zuvallsvariablen $\begin{eqnarray} R_i \end{eqnarray}$ alle die Varianz $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ haben. Jetzt muss es doch hier irgendeinen Trick geben, wie man die Varianz für das $\begin{eqnarray} Z_n \end{eqnarray}$ leicht bestimmen kann. Wer kann mir helfen? Danke und frohe Ostern.
16.04.2017, 11:26	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Varianz n-dimensionale Normalverteilung Für unabhängige ZV $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} E[XY] = E[X]E[Y] \end{eqnarray}$ . Damit lässt es sich das ganze elementar über die Definition der Varianz zeigen.
16.04.2017, 14:12	NichtRegUser	Auf diesen Beitrag antworten »
Huhu IFindU. Danke für die Antwort, aber ich verstehe noch nicht ganz, was du meinst. Die Definition der Varianz: $\begin{eqnarray} Var(X) = E(X^2)-(EX)^2 \end{eqnarray}$ Das X ist in meinem Fall das Z_n mit $\begin{eqnarray} Z_n = \rho R_0 + \frac{1}{n} (1-\rho)(R_1 + R_2 + ... +R_n) \end{eqnarray}$ , wobei mit $\begin{eqnarray} E(Z_n) = 0 \end{eqnarray}$ und deshalb wäre $\begin{eqnarray} Var(Z_n) = E(Z_n^2) \end{eqnarray}$ Gibst du mir noch mal Nachhilfe?
16.04.2017, 15:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Und $\begin{eqnarray} Z_n^2 \end{eqnarray}$ kann man recht leicht bestimmen. Es ist mit $\begin{eqnarray} \overline R := \frac 1 n (R_1 + R_2 + \ldots + R_n) \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} Z_n = \rho R_0 + (1-\rho) \overline R \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} Z_n^2 = \rho^2 R_0^2 + 2 \rho(1-\rho) R_0 \overline R + (1-\rho)^2 \overline R^2 \end{eqnarray}$ . Der Erwartungswert davon funktioniert so wie eben und man bekommt $\begin{eqnarray} Var(Z_n^2) = \rho^2 Var(R_0^2) + (1-\rho)^2 Var(\overline R^2) \end{eqnarray}$ . Genauso kann man nun die letzte Varianz aufschlüsseln.
17.04.2017, 15:51	NichtRegUser	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schön IfindU

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