Polstellen rationaler Funktionen

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Definitionslücke;) Auf diesen Beitrag antworten »
Polstellen rationaler Funktionen
Hallo,

ein Kumpel und ich haben kürzlich beim Lernen ein Problem festgestellt, welches ich bisher nicht endgültig überblicke.

Nehmen wir die Funktion . Nun kann ich ja nicht ohne weiteres einsetzen, da es sonst eine Division durch 0 gäbe. Ich hätte also eine Definitionslücke die ich weiter untersuchen müsste.
Nun meinte mein Kumpel ja aber, dass ich einfach kürzen könnte und erhielte, alles wäre gut, Kurvendiskussion wie gehabt.

Aber kann ich das wirklich so einfach tun? Ich meine klar aber iwie verliere ich doch Information wenn ich das tue? Ich bin mir jetzt also nicht sicher ob ich eine Definitionslücke habe oder nicht. Und welche Darstellung ist jetzt für die Kurvendiskussion die richtige?

Oder ist dieser Fall jetzt zu künstlich gewählt und hat gar keine Relevanz?

Danke sehr.
G180417 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polstellen rationaler Funktionen
Es handelt sich um eins hebbare Def.lücke.
Definitionslücke;) Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ja gut, meine Verwirrtheit über das Argument ist damit leider nicht behoben und daher weiß ich immer noch nicht so genau warum das jetzt eine Lücke ist, da in ja keine Lücke vorkommt. Ist das nun dieselbe Funktion oder nicht? Und wenn nicht, darf ich trotzdem mit die Kurvendiskussion durchführen (wäre ja einfacher).

Über etwas mehr Ausführung wäre ich dankbar.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polstellen rationaler Funktionen
Zitat:
Original von DefinitionslückeAugenzwinkern
Ich meine klar aber iwie verliere ich doch Information wenn ich das tue?


Du hast bisher eine sehr wichtige Information überhaupt nicht angegeben: wo soll die Funktion definiert sein? Für die Funktion mit ist der maximale (reelle) Definitionsbereich gegeben durch . Für alle Werte aus dem Definitionsbereich, d.h. für alle ist dann . Für ist die Funktion zunächst nicht definiert und hat somit dort eine Definitionslücke.

Nun kann man fragen, um was für eine Art Definitionslücke es sich handelt (Polstelle, mit/ohne Vorzeichenwechsel, hebbar) und im Falle einer hebbaren Definitionslücke eine Funktion konstruieren, die mit der Funktion in allen übereinstimmt und zusätzlich für einen "sinnvollen" Wert annimmt (sinnvoll meint in der Regel stetig, eine Fortsetzung der Funktion ist immer möglich, aber nicht immer ist die Fortsetzung stetig).
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