Korrelation(X,Y)=sign(a)1 impliziert Y=aX+b fast sicher

18.04.2017, 17:27	Maria96	Auf diesen Beitrag antworten »
*Korrelation(X,Y)=sign(a)1 impliziert Y=aX+b fast sicher* Hallo! Weiß jemand zufällig wo ich einen Beweis für die Behauptung Korrelation(X,Y)=sign(a)1 impliziert Y=aX+b finden kann? In allen Büchern wird immer behauptet, dass es sich dabei um eine Äquivalenz handelt, jedoch habe ich noch nie einen Beweis für diese Richtung finden können. Es wurde lediglich immer die "triviale" andere Richtung der Äquivalenz bewiesen. Ich wäre über Links, Literaturhinweise oder den Beweis sehr dankbar. Mit freundllichen Grüßen Maria
22.04.2017, 14:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man nahezu direkt über die Definition der Korrelation nachweisen: Sei $\begin{align} c=\frac{E[UV]}{\sqrt{E[U^2]\cdot E[V^2]}} \end{align}$ mit $\begin{align} U=X-E(X),V=Y-E(Y) \end{align}$ eben diese Korrelation. Angemerkt sei an dieser Stelle, dass hier $\begin{align} E[U^2]>0,E[V^2]>0 \end{align}$ gilt, da sonst ja gar keine Korrelation definiert wäre. Nach Voraussetzung ist nun $\begin{align} \|c\| =1 \end{align}$ , wir definieren nun $\begin{align} a:= c\sqrt{\frac{E[V^2]}{E[U^2]}} \end{align}$ . Dann ist $\begin{align} 0 = \left( \sqrt{E[V^2]} - ac\sqrt{E[U^2]} \right)^2 = E[V^2] - 2ac\sqrt{E[U^2]\cdot E[V^2]} + a^2E[U^2] = E[V^2] - 2a E[UV] + a^2E[U^2] = E[(V-aU)^2] \end{align}$ , das bedeutet $\begin{align} V-aU = 0 \end{align}$ P-fast sicher, bzw. $\begin{align} Y = a(X-E(X)) + E(Y) = aX+ b \end{align}$ mit $\begin{align} b:=E(Y)-aE(X) \end{align}$ .
23.04.2017, 13:26	Maria96	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe! Eigentlich ja ganz einfach, wenn man weiß wie man starten muss, aber alleine hätte ich das wohl nie herausgefunden.

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