Irreduzibilität/ Eisenstein

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alina94 Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibilität/ Eisenstein
Hey,

Ich habe hier eine Frage zum Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein.
Also wir haben einen faktoriellen Ring , vom Grad , irreduzibel, derart, dass nicht teilt, teilt und nicht teilt und Eisenstein besagt dann, dass f nicht echt zerlegbar in ist.

Um das zu beweisen wurde angenommen, sei echt zerlegbar mit , . Wir setzen den kanonischen Epimorphismus zu einem Homomorphismus zwischen Polynomringen



fort und erhalten offensichtlich

.

Es folgt, dass die einzige Nullstelle von sein muss und nun schließen wir, dass

und für Elemente und gelten muss.

Hier jetzt meine Frage: Kann ich die letzte Aussage dadurch folgern, dass (nach Skript) Integritätsbereich ist und deshalb und definitiv Monome sein müssen und wenn oder wäre, da auch Integritätsbereich ist und nach Gradformel, keine echte Zerlegung wäre?

Vielen Dank schon mal wieder für alle Hinweise! smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irreduzibilität/ Eisenstein
Zitat:
Original von alina94
.

Korrektur:
Wir schließen aus , dass und Monome sind. Ja, beide müssen Grad mindestens 1 haben, sonst ist die Zerlegung nicht echt.

Wo jetzt genau die Voraussetzung faktorieller Ring gebraucht wird und wo genau die Irreduzibilität von notwendig ist, habe ich mir auch nicht überlegt. Hängt das vielleicht damit zusammen, dass wir nur unter diesen Voraussetzungen den Epimorphismus haben ?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irreduzibilität/ Eisenstein
Hallo,
die irreduzibilität von p wird natürlich gebraucht, damit der Beweis funktioniert bzw. R/p wirklich
Nullteiler frei ist. Und ansonsten kann man genau diese Beweisidee, von der Alina spricht,
sehr gut bei wikipedia nachlesen Augenzwinkern .
gruss ollie3
alina94 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irreduzibilität/ Eisenstein
Zitat:
Original von Elvis
[quote]Original von alina94
.

Korrektur:
Ah ja natürlich, Schreibfehler.
Dann ist es mir denke klar, ich war nur verwirrt weil die Aussage im Skript mMn etwas umständlich mit anderer Begründung gefolgert wurde.
Und ja, mit der Irreduzibilität folgt, dass Integritätsbereich ist, da Primideal ist.
Danke an euch beide!
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