Partitialbruchzerlegung

31.08.2004, 21:34

blackearth

Partitialbruchzerlegung

Hi

Wie berechnet man ein Integral mit der Partialbruchzerlegung wenn z.B. 2 von 3 Nullstellen des Nenners nicht reell sind ?
wie z.B. hier
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{x^2+1}{x^3+3x} ~dx \end{eqnarray*}$

oder wie macht man das wenn es doppelte Nullstellen gibt
wie z.B. hier
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{3x}{x^3+3x^2-4} ~dx \end{eqnarray*}$

im zweitem Fall hab ich einfach gedacht das man sagen könnte:
3x=A1(x-1)+2*A2(x+2)
(-2 ist die doppelte Nullstelle)

zum ersten Fall ist mir garnix eingefallen

Gruß Tobi

31.08.2004, 22:03

Philipp-ER

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Moin.
Wenn keine weiteren reellen Nullstellen vorhanden sind, so lässt sich zumindest ein quadratischer Term, der dann keine reellen Nullstellen mehr hat, abspalten.
Nimm diesen als Nenner eines weiteren Summanden, wobei der Zähler die Form A+B*x hat.

Wenn eine Nullstelle doppelt vorliegt, musst du sie bei der Partialbruchzerlegung doppelt berücksichtigen, der Ansatz lautet dann
...+A/(x-x1)+B/(x-x1)^2
wobei x1 natürlich die doppelte Nullstelle sein soll.
Entsprechend musst du eine n-fache Nullstelle n mal berücksichtigen.

Jetzt alles klar?

31.08.2004, 22:31

SirJ

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Und sobald du die Partialbruchzerlegung geschafft hast, also nur noch konstante Zähler vorhanden sind, kannst du Standardformeln benutzen, um die Integrale zu bilden.

Siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung

In Formelsammlungen sind aber oft nur die Formel für
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x^2+1}\,dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \frac{x}{x^2+1}\,dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{(x^2+1)^2}\,dx \end{eqnarray*}$
angegeben.

Falls du höhere Potenzen brauchen solltest (nicht wenn du nur zwei komplexe Nullstellen hast), kannst du hier schauen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_von...Stammfunktionen

Gruss,
SirJ

31.08.2004, 22:36

BraiNFrosT

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[Off Topic an]

Zitat:

Original von SirJ
Gruss,
SirJ

Hat es einen bestimmten Grund das du dich nicht mehr als SirJective
einloggst ? Hab ich wieder was verpasst ?

[/Off Topic aus]

Gruß vom Frosty

31.08.2004, 23:01

SirJ

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@BrainFrost: Hast nur verpasst, dass ich irgendwo geschrieben habe, dass ich regelmäßig von der Software gekickt werde (beim Gang ins Profil, beim Schreiben von Beiträgen). Ich habe nicht mehr die Muße, mich für jeden einzelnen Beitrag neu einzuloggen.

01.09.2004, 10:43

grybl

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Zu 1:

du kannst den Nenner durch Ausklammern von x in ein Produkt zerlegen und hast dann die 2 Brüche $\begin{eqnarray*} \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2+3} \end{eqnarray*}$
smile

01.09.2004, 16:29

blackearth

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Ich hab jetzt mal versucht eine Aufgabe mit doppelter Nullstelle so zu rechnen
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{2x+1}{x^3-6x^2+9x} ~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{01}=0\ \ \ x_{02}=3\ \ \ x_{03}=3 \end{eqnarray*}$

jetzt hab ich die Gleichung folgendermaßen Aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} 2x+1=A(x-3)^2+B(x)(x-3)+C(x) \end{eqnarray*}$

Gruß Tobi

01.09.2004, 19:15

grybl

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Du musst zuerst die rechte Seite der Gleichung ausmultiplizieren und dann einen Koeffizientenvergleich machen.

Ist dir der Begriff Koeffizientenvergleich geläufig?

Außerdem musst du beim auf gemeinsamen Nenner bringen aufpassen!

(x-3) ist ein Teiler von (x-3)² daher heißt es $\begin{eqnarray*} A(x-3)^2+B\cdot x\cdot(x-3)+C\cdot x \end{eqnarray*}$

01.09.2004, 23:25

blackearth

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so Hab die Gleichung nochmal richtig aufgestellt ...
A=1/9 und C = 7/3
und die rechte seite hab ich mal ausmultipliziert
$\begin{eqnarray*} x2+1=Ax^2-6Ax+9A+Bx^2-3Bx+Cx \end{eqnarray*}$

und wie funktioniert das genau mit dem Koeffizientenvergleich ?

Gruß Tobi

01.09.2004, 23:37

Mathespezialschüler

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Das, was du jetzt hast, soll ja dein Zähler werden. Also vergleichst du mit dem Zähler, das hast du schon richtig hingeschrieben. Deshalb erstmal ausklammern:

$\begin{eqnarray*} 2x+1=x^2(A+B)+x(C-6A-3B)+9A \end{eqnarray*}$

Und jetzt vergleichst du die Faktoren für x^2, x und das absolute Glied auf rechter und linker Seite. DAnn bekommst du Bedingungen für A,B und C:

$\begin{eqnarray*} A+B=0 \end{eqnarray*}$ , weil auf der linken Seite kein x^2 ist.

$\begin{eqnarray*} C-6A-3B=2 \end{eqnarray*}$ , weil der Faktor für x auf der linken Seite 2 ist.

$\begin{eqnarray*} 9A=1 \end{eqnarray*}$ , weil das absolute Glied auf der linken Seite 1 ist.

Jetzt hast du schon $\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{9} \end{eqnarray*}$ , das setzt du in $\begin{eqnarray*} A+B=0 \end{eqnarray*}$ ein und erhälst B, dann setzt du A und B in $\begin{eqnarray*} C-6A-3B=2 \end{eqnarray*}$ ein erhälst auch C, dann setzt du die Werte für A,B und C in deinen vorher angenommenen Partialbruch ein und du hast deinen Partialbruch mit Zahlen Augenzwinkern

02.09.2004, 00:18

blackearth

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alles klar dankeschön ... damit wär das thema auch gegessen

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