Kugeln und Urnen

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amlpep Auf diesen Beitrag antworten »
Kugeln und Urnen
Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Frage aus der Stochastik, die mir Kopfzerbrechen bereitet. Könnte mir eventuell jemand bei folgender Aufgabe helfen: a Kugeln werden zufällig auf a Urnen verteilt. Die Wahrscheinlichkeit in einer zufällig gewählten Urne keine Kugeln zu finden, soll p sein. Es gilt zu begründen, dass p = (1- 1/a)^a ist





Meine Ideen:
Kugeln auf Urnen zu verteilen gibt ja eigentlich (n+k-1 über k) Möglichkeiten, habe das mit n = k = a = 3 und 4 versucht, aber das stimmt dann mit p = (1-(1/a))^a nicht überein

für a = 3 klappt es, wenn man n^k mögliche Verteilungen der Kugeln auf die Urnen betrachtet, also die Reihenfolge betrachtet (was zugegeben keinen Sinn macht), also 27, wobei es 3 Möglichkeiten gibt, dass alle Kugeln in einer Urne sind => 3/27, 6 Möglichkeiten, dass alle Urnen genau eine Kugel haben, also 6/27, somit bleiben 18 Möglichkeiten, dass die Kugeln sich auf zwei Urnen verteilen, folglich eine leer ist. p für 2 leere wäre 2/3, bei 3 Möglichkeiten von 27 ergibt das 2/3 * 3/27; p für eine Leere wäre 1/3, bei 18 Möglichkeiten 1/3 * 18/27. Zusammen 2/3 * 3/27 + 1/3 * 18/27 = 8/27 = (1-1/a)^a = (1- 1/3)^3 = (2/3)^3 = 8/27
Komme nicht auf eine allgemeine Rechenvorschrift, mit der ich p herleiten kann
Wäre sehr dankbar für eine Lösung, grübele da schon länger dran :S
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kugeln und Urnen
Wähle in Gedanken eine Urne aus. Nenne sie z. B. . Jetzt verteile die Kugeln in Gedanken nacheinander zufällig auf die Urnen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel nicht in die Urne kommt? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch die zweite Kugel nicht in die Urne kommt usw.? Wie groß ist also die Wahrscheinlichkeit, dass alle Kugeln nicht in die Urne kommen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von amlpep
wenn man n^k mögliche Verteilungen der Kugeln auf die Urnen betrachtet, also die Reihenfolge betrachtet (was zugegeben keinen Sinn macht)

Ganz im Gegenteil, es macht Sinn: Es ist das passende Modell eines Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraumes für das vorliegende Problem, d.h., ein Modell wo alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind.

Dagegen führt die Betrachtung ohne Beachtung der Reihenfolge zu einem Nicht-Laplaceschen W-Raum, wo die Formel "Wkt = Anzahl günstíg / Anzahl alle" nicht gilt, siehe u.a. hier.
amlpep Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank an beide Kommentatoren, die Kombination beider Antworten hat mich erleuchtet.^^

Riesen Lob für die schnellen und sehr guten Antworten!!! Freude
amlpep Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte noch eine Frage, die sich an die vorherige anschließt. Ich hoffe, das ist in Ordnung.

Es heißt: Die Zufallsgröße Y beschreibt die Anzahl der Urnen, die keine Kugeln enthalten. Es wird behauptet: Y ist binomialverteilt mit n = a - 1 und der Wahrscheinlichkeit p. Untersuchen Sie für a = 3 die Gültigkeit dieser Aussage.

Ansatz: (n über k)*p^k*(1-p)^n-k für n = k = 3 ergibt das 1* p^3 * 1 = 2/3^3

wenn ich für n = a - 1 einsetze, erhalte ich für n = 2 raus und (2 über 3) geht ja nicht. verwirrt

Vielen Dank noch mal an alle, die sich um eine Antwort bemühen: smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

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