Terminzins Polstellen Umformung

20.04.2017, 10:40

3xplor3r

Terminzins Polstellen Umformung

Hi,

ich stehe vor einer Herausforderung eine formale Umformung nachzuvollziehen und benötige Eure Hilfe. Es geht um die Ermittlung eines impliziten Terminzinssatzes auf Grundlage einer geschlossenen Formel. Die Modelldiskussion soll durch formale Umformung erläutert werden, dass bereits geringfügige Änderungen am Nominalzins bereits zu einem Modellkollaps führen. Die Beispielrechnung erfolgt am Terminzins in der dritten Periode. Beiläufig ist erwähnt, dass es ebenfalls um echte Polstellen geht.

Ausgangsformel für implizite Terminzinssätze

$\begin{eqnarray*} i_{t}=\frac{p_{t-1}-r_{t-1}\cdot\sum\limits_{\tau=1}^{t-2}p_{\tau}\cdot\prod\limits_{k=\tau}^{t-2}(1+r_{k})^{-1} }{p_{t}-r_{t}\cdot\sum\limits_{\tau=1}^{t-1}p_{\tau}\cdot\prod\limits_{k=\tau}^{t-1}(1+r_{k})^{-1}}\cdot\frac{1+r_{t}}{1+r_{t-1}}-1 \end{eqnarray*}$

Vereinfachung auf Terminzinssatz für dritte Periode (Hinweis: Vereinfachend wird $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ immer zu pari, also zu $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ angenommen)

$\begin{eqnarray*} i_{3}=\frac{1-r_{2}\cdot(1+r_{1})^{-1}}{1-r_{3}\cdot\left(\left(1+r_{1}\right)^{-1}\cdot\left(1+r_{2}\right)^{-1}+\left(1+r_{2}\right)^{-1}\right)}\cdot\frac{1+r_{3}}{1+r_{2}}-1 \end{eqnarray*}$

Zielumformung für echte Polstellen

$\begin{eqnarray*} i_{3}=\frac{\left(1+r_{3}\right)\cdot\left(1+r_{1}-r_{2}\right)}{\left(1+r_{1}\right)\cdot\left(1+r_{2}\right)-r_{3}\cdot\left(2+r_{1}\right)}-1 \end{eqnarray*}$

Ich finde leider überhaupt keinen Ansatzpunkt zur formalen Umformung. Der Term $\begin{eqnarray*} r_{2}\cdot(1+r_{1})^{-1} \end{eqnarray*}$ im Zähler ist für mich als Quotient verbunden, mit $\begin{eqnarray*} r_{2} \end{eqnarray*}$ als Dividend und $\begin{eqnarray*} (1+r_{1})^{-1} \end{eqnarray*}$ als Divisor. In der Zieldarstellung sind diese allerdings als Subtraktion verknüpft.

Ich danke allen Helfenden bereits jetzt für Ihre Unterstützung.

Beste Grüße

20.04.2017, 11:13

Elvis

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ganz einfache Bruchrechnung, bedenke z.B. $\begin{eqnarray*} (1+r_1)^{-1}=\frac 1 {1+r_1} \end{eqnarray*}$ , schreibe Doppelbruch und kürze

20.04.2017, 21:07

3xplor3r

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Hi,

ich hätte dazuschreiben sollen, dass ich diese Möglichkeit bereits in Betracht zog, damit jedoch ebenfalls nicht voran kam.

$\begin{eqnarray*} i_{3}=\frac{1-r_{2}\cdot\frac{1}{\left(1+r_{1}\right)}\cdot\left(1+r_{3}\right)}{1-r_{3}\cdot\left(\frac{1}{\left(1+r_{1}\right)}\cdot\frac{1}{\left(1+r_{2}\right)}+\frac{1}{\left(1+r_{2}\right)}\right)\cdot\left(1+r_{2}\right)}-1 \end{eqnarray*}$

Wäre ein nächster möglicher Schritt das auflösen der Klammern im Nenner? Dann bleibt für den zweiten und dritten Term der großen Klammer zumindest erst mal $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ übrig.

$\begin{eqnarray*} i_{3}=\frac{1-r_{2}\cdot\frac{\left(1+r_{3}\right)}{\left(1+r_{1}\right)}}{1-r_{3}\cdot\left(\frac{\left(1+r_{2}\right)}{\left(1+r_{1}\right)}\cdot\frac{\left(1+r_{2}\right)}{\left(1+r_{2}\right)}+\frac{\left(1+r_{2}\right)}{\left(1+r_{2}\right)}\right)}-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i_{3}=\frac{1-r_{2}\cdot\frac{\left(1+r_{3}\right)}{\left(1+r_{1}\right)}}{1-r_{3}\cdot\left(\frac{\left(1+r_{2}\right)}{\left(1+r_{1}\right)}+1\right)}-1 \end{eqnarray*}$

Beste Grüße

20.04.2017, 21:33

mYthos

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Die vorletzte Zeile ist bereits falsch, weil du beim ersten Summand in der Klammer zwei (!) mal mit $\begin{eqnarray*} (1 + r_2) \end{eqnarray*}$ multipliziert hast.

(a*b)*c = a*b*c
---------------

Multipliziere also jeden Summanden einmal und bedenke, dass du beide Male sofort durch $\begin{eqnarray*} (1 + r_2) \end{eqnarray*}$ kürzen kannst.
Im Nenner steht dann $\begin{eqnarray*} 1 - r_3(\frac 1 {1+r_1} + 1) \end{eqnarray*}$

mY+

21.04.2017, 08:59

Elvis

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Zu den Grundrechenarten gehört auch, dass man 2 Brüche addieren kann. Und man weiß, dass $\begin{eqnarray*} a+\frac bc=\frac {ac+b}{c} \end{eqnarray*}$ ist.

21.04.2017, 10:51

3xplor3r

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Vielen Dank für die bisherigen hilfreichen Beiträge. Allem Anschein nach, bin ich sehr eingerostet, was die einfachen Grundrechenarten angeht.

Ich korrigiere und führe die vorletzte Zeile meine Beitrags fort.

$\begin{eqnarray*} i_{3}=\frac{1-r_{2}\cdot\frac{\left(1+r_{3}\right)}{\left(1+r_{1}\right)}}{1-r_{3}\cdot\left(\frac{1}{\left(1+r_{1}\right)}+1\right)}-1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Elvis
Zu den Grundrechenarten gehört auch, dass man 2 Brüche addieren kann. Und man weiß, dass $\begin{eqnarray*} a+\frac bc=\frac {ac+b}{c} \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} i_{3}=\frac{1-r_{2}\cdot\frac{\left(1+r_{3}\right)}{\left(1+r_{1}\right)}}{1-r_{3}\cdot\frac{\left(2+r_{1}\right)}{\left(1+r_{1}\right)}}-1 \end{eqnarray*}$

Damit ist allerdings $\begin{eqnarray*} \left(1+r_{2}\right) \end{eqnarray*}$ aus dem Nenner komplett gekürzt. Durch Kehrwertbildung des Nenners und Auflösung des Doppelbruchs komme ich der Lösung zwar nahe, jedoch nicht nahe genug. Wie komme ich nun auf die angegebene Lösung?

$\begin{eqnarray*} i_{3}=\frac{\left(1+r_{3}\right)\cdot\left(1+r_{1}-r_{2}\right)}{\left(1+r_{1}\right)\cdot\left(1+r_{2}\right)-r_{3}\cdot\left(2+r_{1}\right)}-1 \end{eqnarray*}$

Beste Grüße

21.04.2017, 11:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von 3xplor3r
$\begin{eqnarray*} i_{3}=\frac{1-r_{2}\cdot\frac{1}{\left(1+r_{1}\right)}\cdot\left(1+r_{3}\right)}{1-r_{3}\cdot\left(\frac{1}{\left(1+r_{1}\right)}\cdot\frac{1}{\left(1+r_{2}\right)}+\frac{1}{\left(1+r_{2}\right)}\right)\cdot\left(1+r_{2}\right)}-1 \end{eqnarray*}$

Bereits diese Zeile ist falsch, es wurden die Klammern vergessen. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} i_{3}=\frac{{\color{red}\Big(}1-r_{2}\cdot\frac{1}{\left(1+r_{1}\right)}{\color{red}\Big)}\cdot\left(1+r_{3}\right)}{{\color{red}\Big(}1-r_{3}\cdot\left(\frac{1}{\left(1+r_{1}\right)}\cdot\frac{1}{\left(1+r_{2}\right)}+\frac{1}{\left(1+r_{2}\right)}\right){\color{red}\Big)}\cdot\left(1+r_{2}\right)}-1 \end{eqnarray*}$ .

Die Ausdrücke in den roten Klammern in Zähler wie Nenner mit $\begin{align*} (1+r_1) \end{align*}$ erweitern, im Nenner zusätzlich mit dem dort noch stehenden Faktor $\begin{align*} (1+r_2) \end{align*}$ ausmultiplizieren, schon bist du fast am Ziel.

EDIT: Das Schweigen im Walde deute ich mal so, dass jetzt der Groschen gefallen ist. Augenzwinkern

21.04.2017, 14:47

3xplor3r

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RE: Terminzins Polstellen Umformung

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} i_{3}=\frac{{\color{red}\Big(}1-r_{2}\cdot\frac{1}{\left(1+r_{1}\right)}{\color{red}\Big)}\cdot\left(1+r_{3}\right)}{{\color{red}\Big(}1-r_{3}\cdot\left(\frac{1}{\left(1+r_{1}\right)}\cdot\frac{1}{\left(1+r_{2}\right)}+\frac{1}{\left(1+r_{2}\right)}\right){\color{red}\Big)}\cdot\left(1+r_{2}\right)}-1 \end{eqnarray*}$ .

Die Ausdrücke in den roten Klammern in Zähler wie Nenner mit $\begin{align*} (1+r_1) \end{align*}$ erweitern [...]

$\begin{eqnarray*} i_{3}=\frac{\left(1-r_{2}\cdot\frac{1}{\left(1+r_{1}\right)}\right)\cdot{\color{red}\left(1+r_{1}\right)}\cdot\left(1+r_{3}\right)}{\left(1-r_{3}\cdot\left(\frac{1}{\left(1+r_{1}\right)}\cdot\frac{1}{\left(1+r_{2}\right)}+\frac{1}{\left(1+r_{2}\right)}\right)\right)\cdot{\color{red}\left(1+r_{1}\right)}\cdot\left(1+r_{2}\right)}-1<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i_{3}=\frac{\left(1+r_{1}-r_{2}\right)\cdot\left(1+r_{3}\right)}{\left(\left(1+r_{1}\right)-r_{3}\cdot\left(\frac{1}{\left(1+r_{2}\right)}+\frac{\left(1+r_{1}\right)}{\left(1+r_{2}\right)}\right)\right)\cdot\left(1+r_{2}\right)}-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i_{3}=\frac{\left(1+r_{1}-r_{2}\right)\cdot\left(1+r_{3}\right)}{\left(1+r_{1}\right)\cdot\left(1+r_{2}\right)-r_{3}\cdot\left(1+\frac{\left(1+r_{1}\right)\cdot\left(1+r_{2}\right)}{\left(1+r_{2}\right)}\right)}-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i_{3}=\frac{\left(1+r_{1}-r_{2}\right)\cdot\left(1+r_{3}\right)}{\left(1+r_{1}\right)\cdot\left(1+r_{2}\right)-r_{3}\cdot\left(2+r_{1}\right)}-1 \end{eqnarray*}$

Vielen lieben Dank. Die Erweiterung um $\begin{eqnarray*} \left(1+r_{1}\right) \end{eqnarray*}$ brachte die entscheidende Wende. Darauf bin ich leider nicht gekommen. Was hat Dich veranlasst den Bruch derart zu erweitern? Wenn ich bspw. zuerst auflöse und anschließend erweitere, kommt etwas anderes heraus.

$\begin{eqnarray*} i_{3}=\frac{\left(1+r_{1}\right)\cdot\left(1+r_{3}\right)-r_{2}\cdot\left(1+r_{3}\right)}{\left(1+r_{1}\right)\cdot\left(1+r_{2}\right)-r_{3}\cdot\left(2+r_{1}\right)}-1# \end{eqnarray*}$

Beste Grüße

21.04.2017, 15:08

HAL 9000

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RE: Terminzins Polstellen Umformung

Zitat:

Original von 3xplor3r
Wenn ich bspw. zuerst auflöse und anschließend erweitere, kommt etwas anderes heraus.

$\begin{eqnarray*} i_{3}=\frac{\left(1+r_{1}\right)\cdot\left(1+r_{3}\right)-r_{2}\cdot\left(1+r_{3}\right)}{\left(1+r_{1}\right)\cdot\left(1+r_{2}\right)-r_{3}\cdot\left(2+r_{1}\right)}-1# \end{eqnarray*}$

Das ist nichts wirklich anderes, du kannst ja hier im Zähler $\begin{eqnarray*} (1+r_3) \end{eqnarray*}$ ausklammern und kommst damit auf dasselbe Ergebnis.

Zitat:

Original von 3xplor3r
Was hat Dich veranlasst den Bruch derart zu erweitern?

Das ist doch an der Stelle der völlig logische und naheliegende Schritt, die Doppelbrüche zu entfernen.

24.04.2017, 15:33

3xplor3r

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Hi,

wie gesagt, etwas eingerostet.

Danke für Deine Ausführungen.

Beste Grüße

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