Komplexe Zahlen / Funktionentheorie I

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20.04.2017, 12:02	Heermine	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen / Funktionentheorie I Meine Frage: Guten Tag! Folgende Aufgabe: Untersuche ob es zu der Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb C^{\times } \to \mathbb C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{z}{\| z \|^2 } \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ -lineare Abbildung $\begin{eqnarray} L(z):\mathbb C \to \mathbb C \end{eqnarray}$ gibt, sodass in jedem Punkt $\begin{eqnarray} z\in \mathbb C^{\times } \end{eqnarray}$ folgende Gleichung gilt: $\begin{eqnarray} f(z+h) = f(z) + L(z)h +o(\|h\|) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} h\in \mathbb C \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} h \to 0 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: 1.Frage: Ist mit $\begin{eqnarray} \mathbb C^{\times } \end{eqnarray}$ die Menge wie in der Algebra gemeint, also die Menge aller Einheiten so das für z gilt $\begin{eqnarray} z \cdot z' = z' \cdot z =1 \end{eqnarray}$ ? Ansonsten kenne ich diese Schreibweise nicht :/ 2.Frage: Was ist mit "o(\|h\|)" gemeint, soll dies einfach nur irgendein Restterm sein der von h abhängt? Finde diese Notation sonst nirgends im Skript und leider auch keine eindeutige Erklärung im Internet. 3.Frage: Ich habe mal versucht mit der linken Seite der Gleichung zu beginnen: sei $\begin{eqnarray} z=a+bi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h=c+di \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} f(z+h) = \frac{z+h}{\| z+h \|^2 } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{z+h}{(a+c)^2 +(b+d)^2 } \end{eqnarray}$ da sich der Betrag laut Skript wie die Euklidische Norm verhält. $\begin{eqnarray} = \frac{(a+c)+(b+d)i}{a^2 +2ac+ c^2 +b^2 +2bd + d^2 } \end{eqnarray}$ und auf der rechten Seite rauskommen solle ja sowas: $\begin{eqnarray} = \frac{a+ib}{a^2 +b^2} +L(z)h +o(\|h\|) \end{eqnarray}$ ist dies soweit überhaupt richtig ? Und hat jemand einen Tipp wie ich weiter machen könnte? Will den ersten Bruch ja irgendwie auseinander ziehen sodass ich auf die 3 einzelnen Terme komme, aber verstehe grad nicht wie :/
20.04.2017, 12:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen / Funktionentheorie I 1. Ja. Für Körper ist insbesondere jede Zahl außer der 0 eine Einheit. Also $\begin{eqnarray} \mathbb C^\times = \mathbb C \setminus \{ 0\} \end{eqnarray}$ . 2. o(\|h\|) ist eine schnelle Nullfolge in $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ . D.h. es gibt eine Funktion $\begin{eqnarray} r = r(\|h\|) \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} r(\|h\|)/h \to 0 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} h\to 0 \end{eqnarray}$ . Sie muss also (bedeutend) schneller als linear fallen. Einfaches Bsp waere $\begin{eqnarray} r(h) = h^2 \end{eqnarray}$ erfüllt $\begin{eqnarray} o(\|h\|) \end{eqnarray}$ . 3. Ist dir die Definition von mehrdimensionaler Differenzierbarkeit geläufig?
20.04.2017, 15:54	Heermine	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank schonmal für die Antworten zu den beiden ersten Fragen! zu 3. Ist damit die (totale) Differenzierbarkeit gemeint oder die stetig partiell diffenrenziebarkeit? Ansonsten wüsste ich nich was genau damit gemeint seien soll
20.04.2017, 16:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definition von totaler Differenzierbarkeit meine ich, auch Frechet-Differenzierbarkeit genannt.
20.04.2017, 16:38	Heermine	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein die Definition ist mit leider nicht bekannt und kommt auch nirgends im Skript vor, ich habe Sie direkt mal gegoogelt hab aber leider auch keine Ahnung wie die mir weiter helfen könnte
20.04.2017, 16:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Relevanz davon sieht man an dieser Darstellung der Definition sehr gut: Wikipedia. Im Kurzen: Die beste lineare Approximation an einer Stelle ist die Ableitung. Also kann man, um bei deiner Notation zu bleiben $\begin{eqnarray} \partial_a f( a+ib) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \partial_b f(a+ib) \end{eqnarray}$ bestimmen und dann ist $\begin{eqnarray} L(a + ib) = (\partial_a f( a+ib),\partial_b f(a+ib) ) \end{eqnarray}$ die einzige Möglichkeit (totale Differenzierbarkeit impliziert partielle). Damit hast du $\begin{eqnarray} f(z+h), f(z), L(z)h \end{eqnarray}$ gegeben. Es bleibt nur nachzuprüfen, ob $\begin{eqnarray} f(z+h) - f(z) - L(z)h = o(h) \end{eqnarray}$ ist.
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20.04.2017, 17:46	Heermine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich war auch blöderweise auf ner anderen Wikipediaseite unterwegs Aber gut damit macht das natürlich Sinn, habe auch mal soweit alles berechnet: $\begin{eqnarray} \partial_a f( a+ib) = \partial_a (\frac{a+ib}{a^2+b^2} ) = ... = \frac{-(a+ib)^2}{(a^2+b^2)^2} = \frac{-z^2}{\| z \|^4 } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \partial_b f( a+ib) = \partial_a (\frac{a+ib}{a^2+b^2} ) = ... = \frac{i(a+ib)^2}{(a^2+b^2)^2} = \frac{iz^2}{\| z \|^4 } \end{eqnarray}$ sowie nach Definition von f sind: $\begin{eqnarray} f(z+h) = \frac{z+h}{\| z+h \|^2 } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{z}{\| z \|^2 } \end{eqnarray}$ Also zusammen dann: $\begin{eqnarray} f(z+h) - f(z) - L(z)h = \frac{z+h}{\| z+h \|^2 } - \frac{z}{\| z \|^2 } - ( \frac{-hz^2}{\| z \|^4 } , \frac{ihz^2}{\| z \|^4 }) = \end{eqnarray}$ Aber hier verstehe ich nich ganz wie ich den Vektor den ich für L(z) rausbekomme mit den anderen Funktionen verrechnen kann
21.04.2017, 10:43	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte befürchtet ich war zu unklar. Mit $\begin{eqnarray} z = a + ib \approx (a,b) \end{eqnarray}$ habe ich den kanonischen Isomorphismus zwischen $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ implizit gemeint. Also ist $\begin{eqnarray} L(z) = \partial_a f(a+ib) + i \partial_b f(a+ib) \end{eqnarray}$ .
21.04.2017, 11:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie bin ich verwirrt oder komme mit der Nomenklatur durcheinander. Dieses $\begin{align} L(z) \end{align}$ , sofern es denn existent wäre, ist doch eine komplexe Konstante und keine Abbildung. Ich weiß, $\begin{align} \mathbb{C} \end{align}$ und $\begin{align} \mathbb{R}^2 \end{align}$ sind isomorph. Andererseits kann man auch lineare Abbildungen und beschreibende Matrizen miteinander identifizieren. Aber geht man damit hier nicht zu weit, wenn man $\begin{align} L(z) \end{align}$ bereits als Abbildung auffaßt? Entweder ist $\begin{align} L(z) \end{align}$ die Abbildung $\begin{align} h \mapsto ah \end{align}$ (wobei $\begin{align} a \end{align}$ sich später als $\begin{align} a=f'(z) \end{align}$ herausstellt). Oder es ist $\begin{align} L(z)=a \end{align}$ die oben erwähnte Konstante und $\begin{align} h \mapsto L(z) \cdot h \end{align}$ die lineare Abbildung. Oder ich stehe auf dem Schlauch.
21.04.2017, 12:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gebe zu, dass ich auch da wenig unterscheide. Für jede $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ lineare Abbildung $\begin{eqnarray} A: \mathbb C \to \mathbb C \end{eqnarray}$ existiert ein $\begin{eqnarray} a \in \mathbb C \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} A(z) = a\cdot z \end{eqnarray}$ , wobei das rechte Produkt die einfache Multiplikation auf $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ ist. In dem Sinne $\begin{eqnarray} A \approx a \end{eqnarray}$
21.04.2017, 15:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Rechnungen oben kommen mir ein wenig ausufernd vor - zumindest für diese einfache Funktion kann man das ganze m.E. doch auch so erledigen (unter weitestgehender Vermeidung der Aufsplittung in Real- und Imaginärteil): Zunächst mal kann man die Funktion auch als $\begin{align} f(z) = \frac{1}{\bar{z}} \end{align}$ schreiben. Für $\begin{align} L(z) \end{align}$ , so denn existent, muss hinsichtlich $\begin{align} h\to 0 \end{align}$ gelten $\begin{align} L(z) = \frac{f(z+h)-f(z)}{h} + o(1) = \frac{1}{h}\left( \frac{1}{\bar{z}+\bar{h}}-\frac{1}{\bar{z}} \right) + o(1) = -\frac{1}{\bar{z}(\bar{z}+\bar{h})}\cdot \frac{\bar{h}}{h} + o(1) \end{align}$ Nun nähern wir uns auf zwei verschiedenen $\begin{align} h \end{align}$ -Geraden dem Nullpunkt an: a) $\begin{align} h = t \end{align}$ mit reellem $\begin{align} t\to 0 \end{align}$ ergibt Forderung $\begin{align} L(z) = -\frac{1}{\bar{z}^2} \end{align}$ , b) $\begin{align} h = it \end{align}$ mit reellem $\begin{align} t\to 0 \end{align}$ ergibt hingegen Forderung $\begin{align} L(z) = \frac{1}{\bar{z}^2} \end{align}$ . Fazit: $\begin{align} L(z) \end{align}$ existiert nicht.
22.04.2017, 10:13	Herrmine	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, vielen Dank, das kürzt die Sache natürlich im einiges ab. Ich hätte nur noch eine Frage zum Verständnis dieser "schnellen Nullfolge" o(\|h\|), du schreibst dort direkt: $\begin{eqnarray} L(z)= \frac{f(z+h)-f(z)}{h} - o(1) \end{eqnarray}$ aber wenn ich es erstmal nur umforme steht dort ja $\begin{eqnarray} L(z)= \frac{f(z+h)-f(z)}{h} - \frac{o(\|h\|)}{h} \end{eqnarray}$ warum ist nun $\begin{eqnarray} \frac{o(\|h\|)}{h} = o(1) \end{eqnarray}$ ich kannte diesen Begriff wie gesagt bis vor kurzem noch nicht, deshalb ist die Frage vllt auch etwas dumm, aber ich bin jetzt mal von der Erklärung von IfindU ausgegangen und da wir o(\|h\|) ja nicht kennen, aber sein Beispiel war ja es gibt eine Funktion $\begin{eqnarray} r(h) = h^2 \end{eqnarray}$ somit wäre doch $\begin{eqnarray} \frac{r(h)}{h} = h \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} r(1)=1^2 =1 \neq h = \frac{r(h)}{h} \end{eqnarray}$ und somit auch ungleich o(1) oder habe ich da was falsch verstanden?
22.04.2017, 13:54	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Notation nennt sich Landau-Notation. Sie ist in dem Fall folgendermassen definert (ich erspare uns beiden mal technische Details und nehme alles hier wohldefiniert). Sind $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ zwei Funktionen. Dann sagt man $\begin{eqnarray} f \in o(g) \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} h\to 0 \end{eqnarray}$ , wenn gilt $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0 } \frac { f(h) } { g(h) } = 0 \end{eqnarray}$ . In Worten; $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ faellt schneller gegen 0 als es $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ tut. Im Falle von $\begin{eqnarray} o(\|h\|) \end{eqnarray}$ bezeichet man also Funktionen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac { f(h) } {\|h\|} = 0 \end{eqnarray}$ . Es ist leicht zu sehen, dass $\begin{eqnarray} f(h) = h^2 \end{eqnarray}$ , mein voriges Beispiel, das erfuellt. Nun kannst du selbst ueberlegen was $\begin{eqnarray} o(1) \end{eqnarray}$ fuer Funktionen sind, und dass $\begin{eqnarray} \frac { o(h) } h = o(1) \end{eqnarray}$ gilt.

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