Ungleichungen für das Wahrscheinlichkeitsmaß zeigen

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Sabbse92 Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungen für das Wahrscheinlichkeitsmaß zeigen
Guten Tag,

sei ein Wahrscheinlichekeitsraum und Ereignisse. Zu zeigen ist

1)

2)

zur ersten Aussage:

Da ein Wahrscheinlichekitsmaß ist, ist es inbesondere ein Maß und erfüllt somit die , d.h.



Die Ungleichung wird also in beide Richtungen erfüllt. Somit gilt die zu zeigende Aussage

zur zweiten Aussage:
Fällt mir leider nichts ein....
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sabbse92
zur ersten Aussage:

Da ein Wahrscheinlichekitsmaß ist, ist es inbesondere ein Maß und erfüllt somit die , d.h.


Das gilt per Axiom nur für paarweise disjunkte Ereignisse . Diese Voraussetzung liegt hier nicht vor, also darfst du das Axiom für deine so nicht verwenden, d.h., du hast du schon noch was zu tun hier!
Sabbse92 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt...

Hmm, mir fällt nicht mal ein einfaches Beispiel für diese Ungleichung ein, geschweige den wie der Beweis geführt werden soll...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: Man kann eine jede Vereinigung auch "disjunkt" machen, indem man nur die Teile hinzufügt, die "neu" sind.

Am Beispiel n=2: Es ist

mit ,

und und sind disjunkt, daher gilt per Axiom

,

letzteres weil schon aufgrund der Mengendifferenz gilt.


Diese Idee kannst du auch für allgemeines umsetzen - mal ein wenig durchdenken!
Sabbse92 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp.

Mir ist aber noch nicht ganz klar war eine Teilmenge von ist. Sollten diese nicht gleich sein?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sabbse92
und diese nicht gleich sind.

Sie dürfen gleich sein, müssen es aber nicht.


Das ist doch im Grunde genommen einfachste Mengenleere, ich weiß nicht, was du hier ewig rumruderst. Nehmen wir das einfache Beispiel "Würfeln mit einem Würfel" mit und die beiden Ereignisse

... Augenzahl gerade

... Augenzahl höchstens 3

Dann ist sowie und damit dann . Die Vereinigung ist dann per disjunkt dargestellt. Hier in diesem Beispiel ist jetzt wegen das eine echte Teilmenge von , aber i.a. ist auch schon mal Gleichheit möglich, nämlich wenn und schon von vornherein disjunkt sind.
 
 
Sabbse92 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, wahrscheinlich sitze ich schon zu lange am Schreibtisch smile

Danke für deine Geduld Augenzwinkern
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