Natürlicher Isomorphismus Bidualraum

23.04.2017, 09:53	nitramus	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlicher Isomorphismus Bidualraum Ich habe folgende Aussage: Die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi:V \rightarrow V^{} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \phi(v) = v^{} \end{eqnarray}$ ist ein natürlicher Isomorphismus. Meine Fragen: Was ist $\begin{eqnarray} v^{} \end{eqnarray}$ bzw. was macht diese Abbildung? Was macht z.B. $\begin{eqnarray} \phi((1, 2)^T) \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} V=\mathrm{R}^2 \end{eqnarray}$ ? Was bedeutet natürlicher Isomorphimus? Und wozu braucht man diesen?
23.04.2017, 11:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der natürliche oder kanonische Isomorphismus wird definiert durch $\begin{eqnarray} v^{}(f)=f(v) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} f\in V^ \end{eqnarray}$ . Er ist deswegen natürlich, weil er nicht von Basen des Vektorraums $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ oder des Dualraums $\begin{eqnarray} V^* \end{eqnarray}$ abhängt. $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V^* \end{eqnarray}$ sind auch isomorph, aber man muss eine Basis $\begin{eqnarray} \{b_1,...,b_n\} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ haben, um die dazu duale Basis $\begin{eqnarray} \{e_1,...,e_n\} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V^* \end{eqnarray}$ zu konstruieren, für die gilt $\begin{eqnarray} e_i(b_j)=\delta_{ij} \end{eqnarray}$ . Zur Standardbasis $\begin{eqnarray} \{b_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},b_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ gehört die duale Basis $\begin{eqnarray} \{e_1,e_2\} \end{eqnarray}$ und nichtkanonisch die biduale Basis $\begin{eqnarray} \{v_1,v_2\} \end{eqnarray}$ . Diese lässt sich aber viel eleganter, natürlich und kanonisch definieren als $\begin{eqnarray} v(e_i):=e_i(v) \end{eqnarray}$ , und man rechnet leicht nach, dass z.B. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}^{}(e_1)=1,\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}^{}(e_2)=2 \end{eqnarray}$ ist. Zusammengefasst ist also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}^{*}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , natürlicher und kanonischer und einfacher geht es nicht.
23.04.2017, 14:52	nitramus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also die Standardbasis von $\begin{eqnarray} \mathrm{R}^2 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} ((1, 0)^T, (0, 1)^T) \end{eqnarray}$ . Die dazu duale Basis ist dann $\begin{eqnarray} ((1, 0), (0, 1)) \end{eqnarray}$ (damit meine ich die Darstellungsmatrizen). Stimmt das erstmal so? Aber was ist jetzt: $\begin{eqnarray} \phi((1, 2)^T) = ((1, 2)^T)^{} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v^{} \end{eqnarray}$ hängt ja von keinem $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ab, oder?
23.04.2017, 18:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \phi(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix})=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} \phi(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix})\cdot (1,0) := (1,0)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix})\cdot (0,1) := (0,1)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}=2 \end{eqnarray}$
23.04.2017, 19:06	nitramus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das hilft schonmal weiter Heißt das, dass ich allgemein, um $\begin{eqnarray} v^{} \end{eqnarray}$ auszurechen, immer $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ mit allen Basisvektoren aus der dualen Basis multiplizieren muss?
23.04.2017, 19:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und zwar immer so, dass ein Skalar dabei herauskommt. Das liegt daran, dass jeder Dualraum aus linearen Abbildungen in den Körper des Vektorraums besteht. Das gilt für V,V=V,V*=V,V****=V,...
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