Eine Funktion deren n'te Ableitung ln(x) ist

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ms20 Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Funktion deren n'te Ableitung ln(x) ist
Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich suche eine Funktion deren n'te Ableitung der Natürliche Logarithmus ist. Kann mir jemand einen Ansatz geben ?

Meine Ideen:
Ich habe kein Ideen
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Auch oder gerade wenn du keine Ideen hast macht es Sinn erstmal zu schauen, was denn überhaupt passieren soll.



Untersuche mal das Integral und überlege dir was passiert, wenn du das Ganze nochmal durchführst.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@ms20

Du musst ja "nur" die Funktion insgesamt -mal integrieren. D.h., man betrachtet sowie mit .

Schaut man sich die ersten paar an, dann kommt man unter der Zusatzbedingung (im Sinne stetiger Fortsetzung) für zur Behauptung

mit der Harmonischen Zahl .
Ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist die Ableitung der summe von 1 bis n von 1/k Gleich Der Natürliche Logarithmus?

So richtig habe das was du gemacht hast nicht verstanden Hal9000
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ms20
Also ist die Ableitung der summe von 1 bis n von 1/k Gleich Der Natürliche Logarithmus?

Ich weiß nicht, wie du auf diese verrückte Schlussfolgerung kommst. unglücklich

Dass das angegebene die Eigenschaft erfüllt, lässt sich leicht durch Vollständige Induktion beweisen.
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

Also unser ist das und wir suchen eine Funktion deren n'te Ableitung ln(x) ist.

Um mir ein Bild zu machen was mit der Funktion ln(x) passiert wenn ich die Integriere versuche ich das ein paar mal







und ich kann schon Jetzt erkennen (Dank Hal9000):



nur die Hn kann ich nicht sehen was das ist .. erst kam da -1 und dann -3/2 verwirrt
 
 
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

ahh jetzt weiß ich auch wie Hn zustande kommt danke Hal9000 ! War leichter als es aussah..

und ich würde das gerne ausprobieren ob wirklich ln(x) raus kommen wird wie kann ich das dann Ableiten ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Dass das angegebene die Eigenschaft erfüllt, lässt sich leicht durch Vollständige Induktion beweisen.
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

achja das stimmt hattest du gesagt ich versuch es mal :

Induktionsanfang : Für n =1 gilt


= ln(x) =


Induktionsschritt: [n ---> n+1]


Also ist zu zeigen das



mit der Ableitung habe ich etwas schwierigkeiten verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ms20
mit der Ableitung habe ich etwas schwierigkeiten verwirrt

Die Produktregel ist dir doch aber geläufig???
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja doch das ist schon klar aber wenn ich das mache komme ich auf :



und hier komme ich nicht weiter verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Herrje, du kennst doch das Endergebnis, hast du denn dann überhaupt keine Idee, wie man drauf hinarbeiten kann? unglücklich


Nun gut: Nutze , damit ist dann

.

Nun ist auch der Faktor vor der Klammer im ersten Term, also was könnte man nun tun?
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

ausklammern:



aber muss nicht - 1/n+1 stehen damit ich das 1/n+1 von der Summe raus nehmen kann und sich das danach rauskürzt ?

und noch eine frage wie bist du dazu gekommen das f 'n(x)= fn-1(x) sein muss ist das eine formel ?

Ich kenne zb die Formel f ist n mal (stetig) Diffbar dann wenn man Induktiv zeigt das

und n element N.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ms20




Zitat:
Original von ms20
und noch eine frage wie bist du dazu gekommen das f 'n(x)= fn-1(x) sein muss ist das eine formel ?

Ok, ich revidiere nochmal die Darstellung: Die zu beweisende Behauptung lautet eigentlich

Zitat:
hat die Eigenschaft, dass für deren -te Ableitung gilt.

Induktionsanfangs ist klar.

Im Induktionsschritt ist nachzuweisen. Dazu nutzt man das begründbare (da bist du ja gerade dabei), denn dann ist

,

hierbei steht IV für Induktionsvoraussetzung.
Ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

Achja habe ich übersehen nun gut ich habe jz die Ableitung und die ist gleich fn(x) also wurde die Aussage bewiesen oder nicht ?
Ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder ist das falsch? verwirrt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde hier weniger Formalismus vorziehen. Eigentlich reicht doch die für gültige Beziehung , in Worten: Ableiten heißt "Index um 1 heruntersetzen". -mal ableiten heißt daher "Index um heruntersetzen" (wer will, kann hierin eine Induktion sehen). Es folgt:



Und das war zu zeigen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Induktionsbeweis ist ja auch nicht für , sondern für (s.o.) die Aussage

Zitat:
hat die Eigenschaft, dass für deren -te Ableitung gilt.
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