Beweis: Homöomorphismus ist Äquivalenzrelation

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forbin Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Homöomorphismus ist Äquivalenzrelation
Wir sollen als Übung beweisen, dass Homöomorphie eine Äquivalenzrelation ist.
Dazu muss ich ja zeigen: Reflexivität, Symmetrie, Transitivität

Ich wollte gerne mal wissen, ob es folgendermaßen geht:

1)Reflexivität
Sei und damit existiert trivialerweise auch die stetige Umkehrabbildung.

2) Symmetrie
Sei .
Und das geht ja in beide Richtungen.

3) Transitivität
Sei

Geht das so?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1) und 2) geht so gar nicht.
3) ist von der Idee her akzeptabel, aber und . Und bei 3) musst du wissen oder beweisen, dass die Hintereinanderausführung von stetigen Abbildungen stetig und die Hintereinanderausführung von bijektiven Abbildungen bijektiv ist. Du setzt das einfach voraus, aber der Beweis für beliebige topologische Räume ist vielleicht nicht ganz trivial. Und wo beweist du, dass stetig ist ?
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