Verteilung der Zufallsvariable - Erwartungswert

23.04.2017, 19:26

Gowri

Verteilung der Zufallsvariable - Erwartungswert

Meine Frage:
Hallo Zusammen smile

Ich habe hier eine Aufgabe, die mich ein wenig beschäftigt. Sie lautet:
Die Verteilung der Zufallsvariablen X ist gegeben durch:
$\begin{eqnarray*} P(X=k)=\frac{\lambda ^{k} }{(e^{\lambda }-1)k!} , k= 1,2,.... \end{eqnarray*}$

Berechne nun $\begin{eqnarray*} E(X) und P(X\geq 3)| X\geq2) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Dann gilt ja..

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 3)| X\geq2)= \frac{P(X\geq 3\cap X\geq2)}{P(X\geq2)} = \frac{P(X\geq 3)}{P(X\geq2)} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} P(X\geq 3)= 1-P(X< 3) \end{eqnarray*}$

Ich sehe aber nicht ganz, was das hier für eine Verteilung ist. Ich hätte auf die Exponentialverteilung getippt. Dann wäre es dann so:
$\begin{eqnarray*} P(X\geq 3)= 1-P(X< 3)= 1-\int_{0}^{3} \! \frac{\lambda ^{k} }{(e^{\lambda }-1)k!} \, dk, und <br /> P(X\geq 2)= 1-P(X< 2)= 1-\int_{0}^{2} \! \frac{\lambda ^{k} }{(e^{\lambda }-1)k!} \, dk \end{eqnarray*}$

Doch k! kann man nicht integrieren. Könnt ihr mir weiterhelfen?

23.04.2017, 19:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gowri
Ich hätte auf die Exponentialverteilung getippt.

Absurd: Die Exponentialverteilung ist eine stetige Verteilung, während du hier ganz offensichtlich eine diskrete Verteilung vorliegen hast, denn $\begin{align*} X \end{align*}$ nimmt ja nur natürliche Zahlen als Werte an. unglücklich

Wenn man es schon vergleichen will, dann mit einer Poisson-Verteilung mit Parameter $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ , bei der aber der dort mögliche Wert X=0 "weggestrichen" wurde.

23.04.2017, 20:32

Gowri

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oh hoppla... geschockt

Jetzt sehe ich den Fehler auch.

Da wir nun jetzt wissen, dass es eine Poisson-Verteilung ist, können wir doch eigentlich die Lösung so ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 3)= 1-P(X< 3)= 1- P(X=1)-P(X=2), und <br /> P(X\geq 2)= 1-P(X< 2)= 1-P(X=1) \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 3)| X\geq2)= \frac{1- P(X=1)-P(X=2)}{1-P(X=1)} \end{eqnarray*}$

Geht das in die richtige Richtung? verwirrt

23.04.2017, 20:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gowri
oh hoppla... geschockt

Jetzt sehe ich den Fehler auch.

Da wir nun jetzt wissen, dass es eine Poisson-Verteilung ist

Ist es nicht - ich hab nur gesagt, dass man es damit vergleichen kann. Im Detail:

a) Die Poissonverteilung mit Parameter $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ ist eine diskrete Verteilung mit $\begin{align*} P(X=k) = c\cdot \frac{\lambda^k}{k!} \end{align*}$ für $\begin{align*} k=0,1,2,\ldots \end{align*}$ . Die Konstante $\begin{align*} c \end{align*}$ muss natürlich so gewählt werden, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich $\begin{align*} 1 \end{align*}$ ist, das führt zu $\begin{align*} c=\frac{1}{e^{\lambda}} = e^{-\lambda} \end{align*}$ .

b) Bei deiner Verteilung gilt genauso $\begin{align*} P(X=k) = c\cdot \frac{\lambda^k}{k!} \end{align*}$ , nunmehr aber nur für $\begin{align*} k=1,2,\ldots \end{align*}$ , d.h. ohne $\begin{align*} k=0 \end{align*}$ . Die Konstante $\begin{align*} c \end{align*}$ wird wieder so gewählt, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich $\begin{align*} 1 \end{align*}$ ist, das führt aber diesmal zu $\begin{align*} c=\frac{1}{e^{\lambda}-1} \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Gowri
$\begin{eqnarray*} P(X\geq 3)| X\geq2)= \frac{1- P(X=1)-P(X=2)}{1-P(X=1)} \end{eqnarray*}$

Das ist richtig.

23.04.2017, 20:54

Gowri

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Oke, dass heisst wohl, dass ich mich ein wenig auf die Poissonverteilung stützen kann, aber bei meiner Aufgabe handelt es sich trotzdem nicht ganz um die Poissonverteilung. Das erleichtert die Aufgabe um einiges.

Nun zum Erwartungswert...der sollte dann so aussehen...oder?

$\begin{eqnarray*} E(X)= \sum_{k=1}^{\infty} k*P(X=k) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda ^{k} *k}{(e^{\lambda }-1)k!}= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda ^{k}}{(e^{\lambda }-1)(k-1)!} \end{eqnarray*}$

23.04.2017, 21:00

HAL 9000

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Ich nehme einfach mal an, du hast nur aus LaTeX-Unkenntnis das Summenzeichen weggelassen - Hinweis: $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \end{align*}$ , im Quelltext \sum_{k=1}^{\infty} .

23.04.2017, 21:04

Gowri

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ups, ja...danke! das Summenzeichen habe ich iwie völlig vergessen noch einzutragen Hammer

aber sonst sollte es schon stimmen oder?

23.04.2017, 21:13

HAL 9000

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Bis jetzt ja, aber man sollte das ganze noch vereinfachen, d.h., diesen Reihenwert echt ausrechnen.

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