Erwartungswert eines Infimum

24.04.2017, 10:09

Douglas345

Erwartungswert eines Infimum

Hallo zusammen,

Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} ( X_i )_{i\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ Folge unabhängiger ZV mit identischverteilter Verteilung $\begin{eqnarray*} \mathbb P (X_i =1)=p>\frac{1}{2}, \mathbb P (X_i =-1)=q=1-p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_n = \sum\limits_{i=1}^{n} X_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} T_b := inf \left\{ n>0:S_n=b \right\} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt will ich den Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} T_b := inf \left\{ n>0:S_n=b \right\} \end{eqnarray*}$ berechnen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb E \left[ T_b \right] = \mathbb E \left[inf \left\{ n>0:S_n=b \right\} \right] = \sum\limits_{k=1}^{\infty } k \mathbb P \left( inf \left\{ n>0:S_n=b \right\}=k\right) =? \end{eqnarray*}$

Wie muss ich jetzt weitermachen?

24.04.2017, 13:30

HAL 9000

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Ich erweitere mal zunächst die Definition auf $\begin{align*} T_b := \inf\left\{ n\geq 0:\; S_n=b \right\} \end{align*}$ .

Für $\begin{align*} b\neq 0 \end{align*}$ macht das wegen $\begin{align*} S_0\equiv 0 \end{align*}$ keinen Unterschied zu deiner Definition, für $\begin{align*} b=0 \end{align*}$ ist dann aber $\begin{align*} T_0\equiv 0 \end{align*}$ , d.h., deterministisch.

Für $\begin{align*} b>0 \end{align*}$ gilt die Rekursionsgleichung

$\begin{align*} P(T_b = k) = P(X_1=1)\cdot P(T_{b-1}=k-1) + P(X_1=-1)\cdot P(T_{b+1}=k-1) = pP(T_{b-1}=k-1) + qP(T_{b+1}=k-1) \end{align*}$

Hier kann man dann per $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} k\cdot \left(\ldots\right) \end{align*}$ zu den Erwartungswerten übergehen, und damit für diese eine Rekursionsgleichung entwickeln, mit Start $\begin{align*} E[T_0]=0 \end{align*}$ . Was als Problem noch offen bleibt, ist die Bestimmung von $\begin{align*} E[T_1] \end{align*}$ , da muss man sich noch was einfallen lassen.

24.04.2017, 16:40

Douglas345

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Mir ist noch nicht klar, was mir die Rekursion bringt, denn es befinden sich immernoch Wahrscheinlichkeiten drin, die ich nicht kenne. Kannst du mir den Nutzen erklären?

24.04.2017, 17:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Douglas345
Mir ist noch nicht klar, was mir die Rekursion bringt, denn es befinden sich immernoch Wahrscheinlichkeiten drin, die ich nicht kenne. Kannst du mir den Nutzen erklären?

Vermutlich nicht, da du anscheinend nicht den ganzen Beitrag gelesen hast, zumindest den letzten Absatz nicht. Ich warte dann mal so lange.

24.04.2017, 17:04

Douglas345

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Ja, sorry

.Für die Bestimmung von $\begin{eqnarray*} \mathbb E \left[ T_{1} \right] \end{eqnarray*}$ habe ich zunächst $\begin{eqnarray*} \mathbb P \left( T_1 =k \right) \end{eqnarray*}$ betrachtet. Dabei nutze ich die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \left\{ \inf_{n} \tau_n =k\right\} = \bigcup _n \left\{ \tau_n =k \right\} \end{eqnarray*}$ für Stoppzeiten $\begin{eqnarray*} \left(\tau_n\right)_n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \mathbb P (T_1 =k) = \mathbb P (inf\left\{ n>0:S_n =1\right\}=k)= \mathbb P (\bigcup_n \left\{ n>0:S_n =1\right\}=k )= \sum\limits_{n=1}^{\infty } \mathbb P (\left\{ n>0: S_n =1\right\} =k) =? \end{eqnarray*}$

Wie soll ich hier jetzt weitermachen?

24.04.2017, 17:09

HAL 9000

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Jetzt wiederholst du deine Symbolungetüme aus dem Eröffnungsbeitrag, und lässt wieder alles links liegen, was ich gepostet habe. unglücklich

Zitat:

Original von HAL 9000
Hier kann man dann per $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} k\cdot \left(\ldots\right) \end{align*}$ zu den Erwartungswerten übergehen, und damit für diese eine Rekursionsgleichung entwickeln

Das bedeutet:

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} k\cdot P(T_b = k) = p\sum_{k=1}^{\infty} k\cdot P(T_{b-1}=k-1) + q\sum_{k=1}^{\infty} k\cdot P(T_{b+1}=k-1) = p\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)\cdot P(T_{b-1}=k) + q\sum_{k=0}^{\infty} (k+1)\cdot P(T_{b+1}=k) \end{align*}$

letzteres mit einer Indexverschiebung. In Erwartungswerten geschrieben bedeutet dies

$\begin{align*} E[T_b] = p(E[T_{b-1}]+1)+q(E[T_{b+1}]+1) = p E[T_{b-1}] + q E[T_{b+1}] + 1 \end{align*}$ .

24.04.2017, 17:36

Douglas345

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Was mache ich den nun mit den Wahrscheinlichkeit en $\begin{eqnarray*} \mathbb P \left( T_{b-1}=k\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb P \left( T_{b+1}=k\right) \end{eqnarray*}$ ?

24.04.2017, 18:35

HAL 9000

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Bitte frage etwas genauer: Welcher Schritt der Umformung ist dir unklar?

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