Koeffizienten Polynomfunktion eindeutig bestimmt

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manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »
Koeffizienten Polynomfunktion eindeutig bestimmt
Hey Leute,

ich habe hier im Skript einen Beweis dafür, dass wenn K ein unendlicher Integritätsbereich ist, die Polynomfunktion von K nach K eindeutig bestimmte Koeffizienten hat und somit mit Polynomen identifiziert werden kann.

Leider geht mir da immer noch kein Licht auf wenn ich mir das durchdenke, wäre super wenn mir jemand helfen kann!

Beweis:

Es seien f,g zwei Polynome mit Koeffizienten in K so, dass für alle a aus K gilt: f(a)=g(a). Da K unendlich ist, hat dann f-g beliebig viele Nullstellen. Nach (§1) ist daher f=g.

§1: Wenn K ein Integritätsbereich ist, hat jedes von Null verschiedene Polynom f aus K[x] in K höchstens gr(f) Nullstellen -> folgt aus Division mit Rest von Polynomen.

In der Vorlesung wurde folgender Beweis erklärt, quasi als alternative zu dem im Skript:

Es seien f',g' Polynomfunktionen mit f'-g'=0.
Seien die Polynome f,g mit f-g ungleich 0.

f-g hat nur endlich viele Nullstellen, daher auch f'-g' in K nur endlich viele Nullstellen. K muss also endlich sein. Daraus folgt=> Polynomfunktion eindeutig bestimmt, wenn K unendlich.


Wäre echt super wenn mir das jemand erklären könnte. Gerne auch auf seine eigene Weise!!

Danke und LG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ist es besser, von der anderen Seite an diese Aussage heranzugehen.

Ist ein endlicher Integritätsbereich, so ist ein Polynom vom Grad . Für die zugehörige Polynomfunktion gilt für alle , sie nimmt also für jedes Element in den Wert an. Das Nullpolynom ist offenbar von verschieden, aber die Nullfunktion nimmt für jedes Element in den Wert an. Die Funktionen und sind also gleich, die Polynome und sind verschieden.

Hat nun unendlich viele Elemente, und ist mit für alle , dann hat das Polynom unendlich viele Nullstellen, ist also das Nullpolynom. Damit gilt für alle . Daraus schließen wir: Sind die Polynomfunktionen gleich, dann sind die Polynome gleich (die Umkehrung ist trivial).
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Elvis, vielen Dank für die genaue Ausführung! Um sicherzugehen, der Knackpunkt ist also sozuagen, dass die Differenz der Polynime f und g nur dann unendlich viele Nullstellen haben kann, wenn sie identisch sind, da polynome als endlich definiert sind.

Wie kann ich dann aber sagen, dass wenn die Koeffizienten der Polynome gleich sind, die Koeffizienten der Polynomfunktion eindeutig bestimmt sind?

LG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, was es bedeuten soll, dass "Polynome als endlich definiert" sind.

Polynome sind genau dann gleich, wenn ihre Koeffizienten gleich sind. Funktionen sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Definitionsbereiche, Wertebereiche und Graphen haben. Für Polynomfunktionen sind Definitionsbereich und Wertebereich gleich , also sind Polynomfunktionen genau dann gleich, wenn sie für jedes denselben Wert annehmen.

Für endliche gibt es verschiedene Polynome , deren Polynomfunktionen gleich sind . Für unendliche gibt es das nicht, weil für jedes mit dieses eine Nullstelle des Polynoms ist, jedes vom Nullpolynom verschiedene Polynom hat aber nur endlich viele Nullstellen.

Die Umkehrung ist trivial. .
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

achja, das ist der Knackpunkt...

"...jedes vom Nullpolynom verschiedene Polynom hat aber nur endlich viele Nullstellen."

und hier greift das was ich mit "Polynome endlich definiert" gemeint habe zusammen:

Für mich war nicht klar, wieso jedes vom Nullpolynom verschiedene Polynom nur endlich viele Nullstellen haben kann. Der Punkt liegt dabei, dass ein Polynom bei uns in der Vorlesung als endliche Folge definiert wurde. Es gibt also nur endlich viele Koeffizienten ungleich 0 in einem Polynom.

Demnach gibt es keine Polynome "unendlichen Grades" f,g mit unterschiedlichen Koeffizienten sodass f(x)=g(x) für alle x in k ist.

Somit müssen alle Koeffizienten von f und g gleich sein.

Da nun alle Koeffizienten gleich sind, ist f-g das Nullpolynom. Die Koeffizienten der zugehörigen Polynomfunktionen sind also eindeutig definiert, da die Polynome gleich sein müssen, damit es unendlich viele Nullstellen gibt.

Ich weiß nicht ob ich hierbei einfach zu kompliziert gedacht habe oder noch zu kompliziert denke, aber ich schätze die Definition von Polynomen als endliche Folgen bringt hier Klarheit für mich!

Hoffe ich konnte auch meinen Gedankengang verständlich beschreiben!

Danke und LG!! Big Laugh
manuel
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst endliche Reihen oder Folgen mit für fast alle , wobei die Definition von Folgen gleichbedeutend ist mit mit für endlich viele .

Ein Polynom hat nur endlich viele Nullstellen, weil man jede Nullstelle abspalten kann: , und das klappt nur mal, weil die Reihe endlich ist. (Wie beweist du das mit einer Folgendefinition ?)

Die Definition als endliche Reihen ist für Polynome gebräuchlicher, vor allem dann, wenn man die zugehörige Polynomfunktion durch den Einsetzungshomorphismus definiert, wie ich es in meinem letzten Beitrag gemacht habe.
Ist das folgende für dich trivial, ohne an endliche Reihen zu denken (für mich ist das nicht trivial, ich müsste es in die Reihendefinition übersetzen) ?
mit für fast alle

Die Definition als quasiendliche Folgen ist für Polynome sinnvoll, wenn man im Polynomring rechnen möchte, wenn man also Polynome addieren und multiplizieren möchte. Dann hat diese Definition Vorteile, weil man sich nicht um verschiedene Grade der Polynome kümmern muss. Auch für andere theoretische Zwecke eignet sich diese Definition gut. Besser ist, man kennt beide Definitionen und verwendet sie dann, wenn man sie braucht, um das Leben leichter zu machen.
 
 
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

wir haben bei Polynomfunktionen definiert, dass sie durch Vorgabe von Koeffizienten charakterisiert wird (das ist ja genau das Polynom, sprich die endliche Folge).

Dass das n-mal Abspalten funktioniert, ist ja meines Verständnisses nach nur deshalb der Fall, da n nicht unendlich werden kann, wäre ja unsinnig ein Polynom zuzulassen, welches unendlich viele Koeffizienten hat.

demnach wenn unendlich viele Nullstellen-> Nullpolynom.

Wir haben soweit nur diese Definition (zum Rechnen in Polynomringen) kennengelernt, vielleicht liegt darin der Grund für das anfängliche Problem smile
LG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann ich gut verstehen. Wenn man nur die "theoretische" Definition hat, werden "praktische" Aufgaben richtig kompliziert. Benutze beide Definitionen, das kann dir niemand verbieten, sie sind gleichwertig und für unterschiedliche Zwecke unterschiedlich gut geeignet. Zum Einschlagen eines Nagels benutze ich einen Hammer, zum Ziehen desselben Nagels benutze ich eine Zange. Wink
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