Lineare Abbildung einer Vektorprojektion

26.04.2017, 08:07	Andre19906	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung einer Vektorprojektion Meine Frage: Aufgabe: Sei 0 $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ v Element von $\begin{eqnarray} R^n \end{eqnarray}$ gegeben. Wir betrachten die Projektion p von x Element von $\begin{eqnarray} R^n \end{eqnarray}$ in Richtung v. Es gilt: $\begin{eqnarray} p=(<v,x>/\|\|v\|\|^2)v \end{eqnarray}$ , wobei <.,.> das Standardskalarprodukt und \|\|.\|\| die euklidische Norm bezeichnet. Aufgabenteil e): Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} P^{-1}(x) \end{eqnarray}$ für ein beliebiges x! Meine Ideen:* Ich habe mir gedacht, dass diese Abbildung nicht injektiv ist und somit nicht Umkehrbar, denn für v=(7,7) und x=(5,0) kommt $\begin{eqnarray} \frac{35}{\sqrt{98}} \begin{pmatrix} 7 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ raus und für v=(7,7) und x=(0,5) ebenfalls. Aber unser Dozent würde uns nicht eine Aufgabe stellen, die nicht Lösbar ist, ohne vorher zu sagen "falls Lösbar". Jemand eine Idee? EDIT: Latex-Tags verbessert (klarsoweit)
26.04.2017, 09:58	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht. Die inverse Projektion existiert nicht, denn alle Vektoren $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ , welche mit dem Vektor $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ das gleiche Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \vec x\cdot \vec v \end{eqnarray}$ haben, ergeben auch dieselbe Projektion $\begin{eqnarray} P\vec x=\tfrac{\vec x \cdot \vec v}{\vec v \cdot \vec v}\cdot \vec v \end{eqnarray}$
26.04.2017, 10:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme an man meint hier auch nicht die Umkehrabbildung, sondern das Urbild. Und das existiert immer.

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