Multiplikative Zufallsvariable standardnormalverteilt

26.04.2017, 19:39

NichtRegUser

Multiplikative Zufallsvariable standardnormalverteilt

Zufallsvariable Y sei standardnormalverteilt.
Wir definieren X := ZY
mit einer Zufallsvariablen Z, die unabhängig von Y ist und für die gilt
P(Z=1) = 0,5 = P(Z=-1).

Zeige, dass X ebenfalls standardnormalverteilt ist.

Hallo zusammen,

ich habe zwar die Lösung, aber dennoch ein Verständnisproblem.

Lösung:

$\begin{eqnarray*} P(X \le x) = P(ZY \le x)= P(Z=1, Y \le x) + P(Z = -1 , -Y \le x) \end{eqnarray*}$

Frage 1:

Warum heißt das in dem zweiten Term rechts, dass es Minus Y sein muss. verwirrt

Wegen der Symmetrie der Normalverteilung kann es auch +Y sein. Aber im Allgemeinen muss man wohl mit dem Ansatz Minus Y arbeiten?

Weitere Lösung (die ich nachvollziehen kann)

$\begin{eqnarray*} P(Z=1) P(Y \le x) + P(Z=-1) P(-Y \le x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = P(Z=1) P(Y \le x) + P(Z=-1) P(Y \le x) = P(Y \le x) \end{eqnarray*}$

Frage 2:
Ohne $\begin{eqnarray*} \phi(-1) \end{eqnarray*}$ zu kennen, wird obirgen Rechenschritten noch abgeleitet, dass $\begin{eqnarray*} P(X \le -1) < 0.5 = P(Z=1) \end{eqnarray*}$

Ich hätte die Formeln jetzt so gelesen, wie sie oben stehen und für x minus 1 eingesetzt, und dann eben Gleichheit anstelle Kleiner-Als herausbekommen. geschockt

Wer erbarmt sich meiner?
Danke.

26.04.2017, 22:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von NichtRegUser
Warum heißt das in dem zweiten Term rechts, dass es Minus Y sein muss. verwirrt

Vielleicht verstehst du es mit einem Zwischenschritt:

$\begin{align*} P(X \le x) = P(ZY \le x) = P(Z=1, ZY \le x) + P(Z = -1 , ZY \le x) = P(Z=1, Y \le x) + P(Z = -1 , -Y \le x) \end{align*}$ .

Dahinter steckt die simple Gleichung $\begin{align*} P(B) = \sum_{k=1}^n P(A_k\cap B) \end{align*}$ , die für alle Ereignisse $\begin{align*} B \end{align*}$ sowie Zerlegungen $\begin{align*} (A_k)_{k=1,\ldots,n} \end{align*}$ von $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ gilt (Zerlegung heißt: $\begin{align*} A_k \end{align*}$ paarweise disjunkt mit Vereinigung $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ ):

Genau das wird hier auf die Ereignisse $\begin{align*} A_1=[Z=1],A_2=[Z=-1],B=[ZY\le x] \end{align*}$ angewandt.

Zitat:

Original von NichtRegUser
Ohne $\begin{eqnarray*} \phi(-1) \end{eqnarray*}$ zu kennen, wird obirgen Rechenschritten noch abgeleitet, dass $\begin{eqnarray*} P(X \le -1) < 0.5 = P(Z=1) \end{eqnarray*}$

Wozu auch sollte man hier den genauen Wert von $\begin{eqnarray*} \phi(-1) \end{eqnarray*}$ brauchen? Du hast vorher gerade nachgewiesen, dass $\begin{align*} X \end{align*}$ auch standardnormalverteilt ist, damit also auch symmetrisch bzgl. des Nullpunkts, weswegen $\begin{align*} P(X\leq -1) < P(X\leq 0) = 0.5 \end{align*}$ gilt.

27.04.2017, 07:41

NichtRegUser

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Guten Tag HAL 9000 !

Danke für deine Antwort.
Vor allem für den Zwischenschritt, der löst meine Fragezeichen auf. Freude

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