Eigenwertproblem

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26.04.2017, 19:45	FrageFragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwertproblem Meine Frage: Hallo, ich habe folgendes Eigenwertproblem: (a^2Q-diag(Matrix))(Eigenvektor)=(Eigenwert)(Eigenvektor), Q ist eine n mal n Matrix, diag(Matrix) ist eine Diagonalmatrix, mit Einträgen auf der Hauptdiagonalen, aber hier unterschiedliche Werte auf der Hauptdiagonalen (zumindest manchmal), a ist eine reelle Konstante. Meine Frage ist, wenn ich das Problem für ein bestimmtes a gelöst habe, wie sehen dann die Lösungen für ein anderes a aus, gibt es hier Zusammenhänge ? Freue mich über jeden Kommentar, Grüsse Meine Ideen: keine Ideen
27.04.2017, 10:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} a,b\ne 0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} (a^2Q-D)x=\lambda x\Leftrightarrow (b^2Q-(\frac b a)^2D)x=\frac {b^2\lambda}{a^2}x \end{eqnarray}$ eine Eigengleichung derselben Form. Was kann man daraus lernen ?
03.05.2017, 21:26	FrageFragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen Dank für die Antwort, also die erste und zweite Gleichung verstehe ich noch, die linke Gleichung wird mit $\begin{eqnarray} b^{2} \end{eqnarray}$ multipliziert und durch $\begin{eqnarray} a^{2} \end{eqnarray}$ dividiert. Die rechte ist also die gleiche Gleichung wie die linke. Für die linke Gleichung haben wir Eigenwerte und Eigenvektoren ermittelt, für ein festes a. D.h. x und lambda und a in der rechten Gleichung sind bekannt. Die rechte Gleichung gilt dann für jedes b. Gesucht ist die Lösung für $\begin{eqnarray} (b^{2} Q-D)\vec{x} =\lambda \vec{x} \end{eqnarray}$ . Aber hier komme ich nun nicht weiter, bringe die Lösungen nicht zueinander. Eventuell die Werte für a und b in die Matritzen hineinziehen. Grüsse und danke für jede weitere Hilfe
04.05.2017, 11:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann das nicht trennen. $\begin{eqnarray} (b^2Q-D)x=(\frac{b^2-a^2}{a^2}D+\frac {b^2}{a^2})x \end{eqnarray}$ ist keine Eigenwertgleichung. Auf der rechten Seite tritt zwangsläufig die Diagonalmatrix $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ auf.
04.05.2017, 13:07	FrageFragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen Dank für die Antwort, so meinte ich das mit dem trennen auch nicht, da habe ich mich ungenau ausgedrückt, ich meinte, ich mache $\begin{eqnarray} Q'=b^{2}Q \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} D'=\frac{b^2}{a^{2} } D \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \lambda' =\frac{b^{2} }{a^{2} } \lambda \end{eqnarray}$ , dann hätte ich für alle a,b mit $\begin{eqnarray} a \neq 0 \end{eqnarray}$ das folgende Eigenwertproblem $\begin{eqnarray} (Q'+D')\vec{x} =\lambda' \vec{x} \end{eqnarray}$ , bei Variation von b, ändert sich dann natürlich Q' und D'. Deshalb bekomme ich noch immer keinen Zusammenhang zwischen den Lösungen für verschiedene b, wenn die Lösung für a bekannt ist
04.05.2017, 13:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung $\begin{eqnarray} (b^2Q-(\frac b a)^2D)x=\frac {b^2\lambda}{a^2}x \end{eqnarray}$ zeigt doch, dass sie für alle $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ erfüllt ist, unabhängig von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Zwischen beliebigen $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ kann diese Gleichung keinen Zusammenhang herstellen. Die Gleichung $\begin{eqnarray} b=b \end{eqnarray}$ ergibt auch keine tieferen Einsichten in $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ . Der Eigenvektor x ist unverändert ein Eigenvektor. Der Eigenwert ändert sich abhängig von a und b.
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04.05.2017, 17:12	FrageFragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für die Antwort, d.h. man kann daraus nichts genaueres ablesen, könnte man eventuell irgendwelche Näherungen in der Nähe um ein bestimmtes a machen. ich meine wenn die Änderung von a klein wäre und der Term a^2*Q klein gegen D, könnte man dann nicht eine geringe Änderung in den Eigenwerten erwarten. Wenn a^2 Q gross gegen D, dann könnte man eventuell D vernachlässigen oder sagen, D geht nur schwach in die Lösung ein oder ist die in den Eigenwerten zu erwartende Änderung so gross, dass man hier keine Möglichkeit hat.
04.05.2017, 18:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} b \approx a \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} b^2\approx a^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac b a\approx 1 \end{eqnarray}$ , dann ändert sich fast nichts, weder $\begin{eqnarray} a^2Q \end{eqnarray}$ noch $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ noch $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Sonst ändert sich alles mit $\begin{eqnarray} b^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac {b^2}{a^2} \end{eqnarray}$ (sagt die Gleichung).
04.05.2017, 18:53	FrageFragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das könnte schon ein sehr guter Ansatz sein, das Problem wäre herauszubekommen, wie weit man sich von a_0 entfrenen darf, damit die Änderung klein bleibt. Ich denke das müsste stark an den Eigenschaften von Q und D liegen

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