Isomorphismen über Elliptische Kurven

27.04.2017, 15:28	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismen über Elliptische Kurven Gegeben seien zwei elliptische Kurven über dem Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ der Form $\begin{eqnarray} Y^2=X^3+A_1x+B_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y^2=X^3+A_2x+B_2 \end{eqnarray}$ Ich hoffe, dass jemand die Gruppenstruktur von elliptischen Kurven kennt, falls nicht kann ich es auch gerne erklären. Nun möchte ich beweisen, dass die zwei elliptischen Kurven isomorph über dem algebraischen Abschluss $\begin{eqnarray} \bar{K} \end{eqnarray}$ sind genau dann wenn $\begin{eqnarray} A_1=u^4A_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B_1=u^6B_2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} u \in \bar{K^} \end{eqnarray}$ , was den invertierbaren algebraischen Abschluss des Körpers bezeichnet. Weil wenn wir dann als Isomorphismus definieren $\begin{eqnarray} \phi: (x,y) \rightarrow (u^2x,u^3y) \end{eqnarray}$ , bekommen wir $\begin{eqnarray} Y^2=X^3+A_1x+B_1 \rightarrow u^6Y^2=u^6X^3+u^2A_1x+B_1\text{was äquivalent is zu}Y^2=X^3+A_2x+B_2 \end{eqnarray}$ . Nun muss ich meiner Meinung nach zwei Dinge zeigen; Erstens: Das ist in der Tat ein Isomorphismus; Dazu muss ich aber zeigen, dass diese Abbildung die Gruppenstruktur erhält, also dass $\begin{eqnarray} \phi(P_1+P_2)=\phi(P_1)+\phi(P_2) \end{eqnarray}$ für zwei Punkte $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ auf der elliptischen Kurve; Aber wie zeige ich das? Außerdem möchte ich zeigen, dass es keinen anderen Isomorphismus gibt, d.h. alle Isomorphismen der Form $\begin{eqnarray} \phi: (x,y) \rightarrow (u^2x,u^3y) \end{eqnarray}$ sind. Wie zeige ich das? Außerdem: Kann mir jemand erklären, warum wir zwei Kurven über einem Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ haben, aber der Isomorphimus über den algebraischen Abschluss von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist und warum $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray*}$ sogar aus dem invertierbaren algebraischen Abschluss ist? Über Hilfe wäre ich sehr dankbar. LG
28.04.2017, 09:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Thema ist "nicht ganz trivial", ich wüsste nicht, wie man darauf schnell antworten könnte. Sicher hast du ein Buch, ein Skript oder Vorlesung nötig, um isomorphe elliptische Kurven zu studieren. Siehe z.B. hier http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/...Skript-EllK.pdf . In10.6 wird der Beweis angedeutet und auf " J.H. Silverman: The arithmetic of elliptic curves, Springer GTM 106 (1986) " verwiesen. trivial ist nur folgendes: 1. In den Gleichungen der elliptischen Kurven muss $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ stehen. 2. $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ kann nicht 0 sein, weil die erste Kurve sonst zu $\begin{eqnarray} Y^2=X^3 \end{eqnarray}$ degeneriert.
28.04.2017, 17:07	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, vielen Dank für deine Mühe. Nun versuchen wir es mal der Reihe nach: 1. das mit nicht invertierbar habe ich nun verstanden, vielen Dank. 2. Aber warum ist der Isomorphismus und auch das $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ zusätzlich über den algebraischen Abschluss des Körpers $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ und nicht nur über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ selbst? 3. Nun zum eigentlichen Problem: Vielleicht habe ich das auch falsch verstanden; Ich habe das Buch von Silverman:The arithmetic of elliptic curves hier und da wird nur geschrieben: Two elliptic curves are isomorphic over $\begin{eqnarray} \bar{K} \end{eqnarray}$ if and only if they both have the same j-invariant. Auch steht da z.B. : The only change of variables preserving this form of the equation is $\begin{eqnarray} x = u^2x \end{eqnarray}$ and $\begin{eqnarray} y = u^3y \end{eqnarray}$ for some $\begin{eqnarray} u \in \bar{K}^ \end{eqnarray}$ and then $\begin{eqnarray} <br /> u^4A'=A<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> u^6B=B<br /> \end{eqnarray*}$ Ein wirklicher Beweis steht auch hier nicht; Allerdings was ich mir überlegt habe: Ist hiermit überhaupt ein Gruppenisomorphismus gemeint? Ich habe das automatisch angenommen, aber kann es nicht ein Isomorphismus von zwei Kurven sein? Dann wäre diese Gruppenstruktur, wie ich sie zeigen will gar nicht erfüllt und müssste folglich auch nicht gezeigt werden.. Oder ist das Blödsinn, was ich gerade rede?
29.04.2017, 08:29	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, dazu kann ich einiges sagen: Also den algebraischen abschluss braucht man deswegen, der isomorphismus (x,y) nach (u^2x, u^3y) ja nach beiden richtungen "funktionieren"muss, und es kann ja passieren, das u^2 und u^3 sich im körper K befinden, u als solches aber nicht. Und ansonsten empfehle ich dir einfach "elliptische kurven" auf der deutschen wikipedia, dort ist alles sehr gut erklärt. Und denke übrigens daran, das bei den elliptischen kurven die addition anders definiert ist als bei der "normalen" addition. Und das 2 elliptische kurven isomorph sind, heisst nichts anderes, als dass man durch koordinatentransformation die eine gleichung in die andere überführen kann. gruss ollie3
29.04.2017, 14:03	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, Addition ist ganz anders definiert; Aber was du sagst ist im Grunde, dass ich gar nicht wissen muss, wie die Addition definiert ist, weil zwei elliptische Kurven isomorph sind meint keinen Gruppenisomorphismus, sondern einfach, dass eine Kurve in die andere überführt werden kann, richtig? So gesehen ist meine ursprüngliche Frage einfach Quatsch und ich wollte etwas beweisen, was so gar nicht sitmmt? Nun zum Thema: Dass $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ aus dem algebraischen Abschluss sein muss verstehe ich nun auch, aber warum sind die zwei Kurven über dem algebraischen Abschluss isomorph? Weil wenn $\begin{eqnarray} u^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u^3 \end{eqnarray}$ aus dem Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ sind, dann sind auch $\begin{eqnarray} u^4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u^6 \end{eqnarray}$ aus dem Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ und damit auch $\begin{eqnarray} u^4A_2=A_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u^6B_2=B_1 \end{eqnarray}$ ; Sind die Kurven dann nicht über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ isomorph? Und kannst du mir noch helfen, warum denn die einzig mögliche Transformation so aussehen muss? Schau dir mal den Wikipedia-Artikel an: https://de.wikipedia.org/wiki/Elliptisch...iptische_Kurven Da wird gesagt, dass zwei Kurven isomorph sind, wenn die Transformation eine bestimmt Form hat - ich hatte mir das eher anders vorgestellt: Zwei elliptische Kurve sind isomorph, wenn man sie die Gleichung in die andere überführen kann; Dass die Transfomration so aussehen muss habe ich mir eher als Theorem vorgestellt, das man beweise muss und nicht als Definition; Habe ich mich in der Annahme geirrt?

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