Familie von Teilmengen, Bild und Urbild

27.04.2017, 19:24	Kumpane	Auf diesen Beitrag antworten »
Familie von Teilmengen, Bild und Urbild Meine Frage: Hallo, könnte mir jemand bei einer kleinen Aufgabe helfen? Hier die Aufgabe: Für beliebige Abbildungen $\begin{eqnarray} f:M\rightarrow N \end{eqnarray}$ und Familien von beliebigen Teilmengen $\begin{eqnarray} N_i\subseteq N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f^{-1} (\cup_i\in_I N_i)=\cup_i\in_I f^{-1}(N_i) \end{eqnarray}$ und dasselbe mit der Schnittmenge, beides für Urbilder. Jetzt soll man zeigen, dass es auch für Bilder gilt mit $\begin{eqnarray} M_i\subseteq M \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Habe da schon ein wenig herumprobiert. Also bin folgendermaßen vorgegangen: $\begin{eqnarray} (1) \cap_i\in_I M_i := \{m\in M\mid\forall_i\in_I: m\in M_i\} \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} f(\cap_i\in_I M_i):=\{f(m)\mid m\in (\cap_i\in_I:M_i)\} \end{eqnarray}$ Einsetzen von (1) $\begin{eqnarray} f(\cap_i\in_I M_i):=\{f(m)\mid m\in M\mid\forall_i\in_I:m\in M_i\} \end{eqnarray}$ Danach folgt: $\begin{eqnarray} (3)f(M_i):=\{f(m)\mid m\in M\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (4)\cap_i\in_I f(M):=\{m\in M\mid\forall_i\in_I:m\in (f(M))\} \end{eqnarray}$ (3) Einsetzen in (4) $\begin{eqnarray} (5)\cap_i\in_I f(M):=\{m\in M\mid\forall_i\in_I:m\in f(m)\mid m\in M_i\} \end{eqnarray}$ So im Prinzip steht doch dort nun dasselbe wie weiter oben in (2) nur in anderer Reihenfolge und der Beweis wäre doch hiermit abgeschlossen? Oder fehlt etwas bzw. ist es doch nicht dasselbe? Würde mich sehr über Antworten und Tipps freuen. Bei der Vereinigungsmenge bin ich genauso vorgegangen. Wenn ich mir die Def. versuche bildlich vorzustellen, also mithilfe von Venn-Diagrammen dann komme ich jedenfalls auf dasselbe.
28.04.2017, 00:32	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Für Bilder ist diese Aussage schlicht und einfach nicht wahr: nimm zum Beispiel $\begin{eqnarray} f:\{1,2\}\to\{1,2\},1\mapsto 1,2\mapsto 1 \end{eqnarray}$ Es gilt $\begin{eqnarray} f(\{1\}\cap\{2\})=f(\emptyset)=\emptyset \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} f(\{1\})\cap f(\{2\})=\{1\}\cap\{1\}=\{1\} \end{eqnarray}$ Für Vereinigungen stimmt die Identität $\begin{eqnarray} \bigcup_{i\in I}f(M_i)=f\left(\bigcup_{i\in I}M_i\right) \end{eqnarray}$ aber wieder Lg kgV
28.04.2017, 00:45	Kumpane	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für die Antwort ! Das Beispiel für den Schnitt ist einleuchtend, aber lässt sich dieser Widerspruch auch ähnlich wie in meinem Ansatz zeigen ? Würde gern anhand der Definitonen zeigen, dass sie sich direkt widersprechen, oder eben nicht. MfG Kumpane
28.04.2017, 00:48	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, allgemein wirst du das nicht mit einem Widerspruch zeigen können. Für injektive Funktionen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stimmt die Aussage nämlich auch für Schnitte
28.04.2017, 01:11	Kumpane	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, hab ich garnicht dran gedacht. Danne für die Hilfe, den Rest sollte ich nun leicht lösen können
28.04.2017, 01:25	Kumpane	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir fällt grad ein du sagtest die andere Identität wäre wahr, wie kann ich das dann beweisen ? Ein einfaches Beispiel reicht ja nicht, d.h ich muss meinen Ansatz fortführen um es allgemein zu zeigen oder ?
Anzeige

28.04.2017, 13:26	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Tat reicht ein Beispiel da nicht aus. Du kannst die Identität aber ähnlich durchrechnen, wie du es beim Schnitt versucht hast geht diesmal wirklich schnell

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »