Vereinigte Wahrscheinlichkeit -- Würfeln

28.04.2017, 13:53	Mares123	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigte Wahrscheinlichkeit -- Würfeln Hallo! Ich habe eine Frage an euch, bei dir ich ein wenig auf der Leitung stehe! Folgendes: Berechnen Sie mit wie vielen Würfeln ein Spieler eines Spiels werfen sollte, wenn er mindestens 3 mal höher als 3 ( $\begin{eqnarray} Ereignis A \end{eqnarray}$ ), aber keinesfalls eine doppelte 6 ( $\begin{eqnarray} Ereignis B \end{eqnarray}$ ) würfeln will, um seine Chancen zu maximieren. (Das Spiel dürfte Warhammer sein ) Also theoretisch muss die Funktion $\begin{eqnarray} P(n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n=Wuerfelzahl \end{eqnarray}$ ein Maximum durchlaufen. Entweder man bildet die Ableitung $\begin{eqnarray} P'(n) \end{eqnarray}$ mit Hilfe der Sterlingnäherung, setzt diese $\begin{eqnarray} =0 \end{eqnarray}$ und findet so das Maximum... oder (wesentlich einfacher) man tabelliert einfach durch und schaut sich an mit welchem $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ die Wahrscheinlichkeit am größten wird. Grundsätzlich will ich ja 2 Ereignisse kombinieren also $\begin{eqnarray} A\cap B \end{eqnarray}$ . Wenn man das umschreibt kann man es ja auch so formulieren: $\begin{eqnarray} P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B) \end{eqnarray}$ . Die Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse zu berechen banal, einfach die Biomialverteilung verwenden. Aber wie komme ich auf $\begin{eqnarray} P(A\cup B) \end{eqnarray}$ ? Da komme ich leider einfach nicht drauf (mal von händisch abzählen abgesehen), habt ihr eine Idee wie man das in eine Formel/Funktion packen könnte? Lg Mares
28.04.2017, 14:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{align} X \end{align}$ die Anzahl der Augenzahlen $\begin{align} \geq 3 \end{align}$ und $\begin{align} Y \end{align}$ die Anzahl der Sechsen. Offenkundig ist $\begin{align} Y\sim B\left(n,\frac{1}{6}\right) \end{align}$ und die bedingte Verteilung von $\begin{align} X-m \end{align}$ unter der Bedingung $\begin{align} Y=m \end{align}$ ist die Binomialverteilung $\begin{align} B\left(n-m,\frac{3}{5}\right) \end{align}$ (nach Abzug der $\begin{align} m \end{align}$ Sechsen sind die restlichen $\begin{align} n-m \end{align}$ Augenzahlen jeweils gleichverteilt auf 1..5). Daher ist $\begin{align} P(n) &= P(Y=0)\cdot P(X\geq 3 \mid Y=0) + P(Y=1)\cdot P(X\geq 3 \mid Y=1) = P(Y=0)\cdot (1-P(X\leq 2 \mid Y=0)) + P(Y=1)\cdot (1-P(X-1\leq 1 \mid Y=1))\\ &= \left(\frac{5}{6}\right)^n \left( 1- \sum_{k=0}^2 \binom{n}{k} \left(\frac{3}{5}\right)^k \left(\frac{2}{5}\right)^{n-k} \right) + n\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\frac{1}{6} \left( 1- \sum_{k=0}^1 \binom{n-1}{k} \left(\frac{3}{5}\right)^k \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1-k} \right)\\ &= \left(\frac{5}{6}\right)^n \left( 1-\left(\frac{2}{5}\right)^n-n\frac{3}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}-\frac{n(n-1)}{2}\frac{3^2}{5^2}\left(\frac{2}{5}\right)^{n-2} \right) + n\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\frac{1}{6} \left( 1- \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1} - (n-1)\frac{3}{5} \left(\frac{2}{5}\right)^{n-2} \right)\\ &= \frac{5+n}{5}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^n - \frac{8+n+15n^2}{8} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n \end{align}$ .
28.04.2017, 19:59	Mares123	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh Wow! Das ergibt total Sinn! DANKE!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »