Vereinigung unendlicher abgeschlossener Mengen nicht abgeschlossen! |
| 28.04.2017, 19:57 | Whistle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Vereinigung unendlicher abgeschlossener Mengen nicht abgeschlossen! Mit Hilfe der Menge M:= ?_(n?N)??[1/n,1-1/n]? soll ich beweisen, dass die Vereinigungsmenge unendlicher abgeschlossener Mengen nicht immer abgeschlossen ist. Meine Idee hierzu war, dass nach der Definition M nicht abg. <=> die Negation von M Komplement offen gilt. Negiert lässt sich "nicht offen" also wie folgt formulieren: \exists x \in M \forall epsilon>0: Epsilonumgebung(x) keine \subseteq M Meine Beweisführung geht dann wie folgt weiter: Sei x nun Element von M und n Element N bel. Für x=0 und x=1 gilt für jedes noch so große Epsilon: Die Epsilonumgebung an Stelle x=0 und x=1 ist keine Teilmenge von M und somit ist M nicht offen bzw. nicht abgeschlossen. Klingt dieser Beweis schlüssig? Wo habe ich denn Fehler gemacht? Meine Ideen: s.o. |
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| 28.04.2017, 21:13 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du wirst bestimmt Hilfe erhalten, wenn du die Fragezeichen in deinem Beitrag eliminierst. |
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| 28.04.2017, 21:25 | Whistle23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Vereinigung unendlicher abgeschlossener Mengen nicht abgeschlossen! Nachdem ich als Gast diesen Beitrag erstellt habe, konnte ich den leider nicht mehr editieren. Deshalb nun hier als neuer Account:
Gegeben ist die Menge aus der Vereinigung unendlicher Mengen mit n Element N und [1/n, 1-1/n]. Hoffe, dass das weiterhilft. Da hat es bei mir mit der Formelschreibweise scheinbar Probleme gegeben. |
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| 28.04.2017, 21:39 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Negation ist leider etwas in die Hose gegangen. Du hast vergessen, dass sich das alles auf bezieht, nicht mehr auf selbst. Richtig wäre also bzw. . Magst du deine Gedanken unter diesem Gesichtspunkt nochmal neu formulieren? So klingt das alles etwas wirr, weil du und mehrfach kommentarlos austauschst. Für den strikten Beweis der Aussage wäre es u.U. auch hilfreich, die Vereinigung wieder inklusive eines Beweises der Richtigkeit dieser Darstellung explizit als ein Intervall hinzuschreiben. |
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| 28.04.2017, 22:33 | Whistle23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für deine schnelle Rückmeldung und die Korrektur! Jetzt muss ich also min. ein Element von der Komplementmenge finden, das für jede noch so große und kleine Epsilon keine Epsilon-Umgebung innerhalb der Komplementmenge besitzt. Aber irgendwie stehe ich auf dem Schlauch. Was meinst du denn mit deiner letzten Aussage? Das Intervall geht links Richtung 0 und rechts Richtung 1. Aber wie hilft mir das weiter? Angenommen ich gehe davon aus, dass die Vereinigungsmenge das offene Intervall (0,1) ist. Dann sind die restlichen Schritte eigentlich klar: 0 und 1 sind Elemente vom Komplement, die als Randpunkte des Komplements (, 0] vereint mit [1, ) als Randpunkte keine komplette Epsilon-Umgebung innerhalb der Komplementmenge besitzen. Somit kann also M nur nicht abg. sein. Das scheint also der richtige Weg zu sein. Aber für n = 1 erhalte ich doch [1,0] . Warum fallen dann auf einmal die Randpunkte weg? Oder bin ich doch komplett auf dem falschen Weg? LG und danke für deine Unterstützung! |
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| 28.04.2017, 22:37 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Vereinigungsmenge ist tatsächlich das Intervall , das lässt sich auch recht schnell mit Hilfe zweier Mengeninklusionen beweisen. Wenn die restlichen Schritte danach dann klar sind, ist das vielleicht der einfachste Weg. ist die leere Menge, weil darin nur reelle Zahlen liegen, die gleichzeitig größer als 1 und kleiner als 0 sind. Davon gibt es keine. |
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| 28.04.2017, 22:43 | Whistle23 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, dann ist mir jetzt auch dieser Schritt klar! Ich war die ganze Zeit etwas naiv und dachte, dass [1,0] äquivalent zu [0,1] ist, aber das trifft natürlich nicht zu! Danke, jetzt habe ich es verstanden! |
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