Beweis/ Widerspruch bedingte Wahrscheinlichkeit

29.04.2017, 07:44

blackBeatle

Beweis/ Widerspruch bedingte Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Hallo,

ich sitze momentan an folgendem Beweis/ Widerspruch und weiß nicht so recht, wohin mit dieser Aussage:

Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega, P) \end{eqnarray*}$ ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum. Sei $\begin{eqnarray*} B \subset \Omega \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(B) > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(B^c) > 0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} A \subset \Omega \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A \mid B) = 1 - P(A \mid B^c) \end{eqnarray*}$ .

Beweisen Sie entweder diese Aussage allgemein oder zeigen Sie durch ein geeignetes gewähltes Gegenbeispiel, dass sie i. allg. falsch ist.

Meine Ideen:
Meine Vermutung ist tatsächlich, dass dies keine gültige Aussage ist. Habe auch schon durch hin- und herumformen versucht das Ganze zu beweisen versucht, aber es klappt nicht, was meinen Verdacht ein wenig bestätigt. Nun weiß ich jedoch nicht, wie ich zeigen kann, dass es sich widerlegen lässt. Hat da jemand vielleicht einen Tipp für mich? Gott

Oder ist meine Vermutung sogar ganz und gar falsch?
Ich wäre sehr dankbar für jede Hilfe! smile

29.04.2017, 08:50

HAL 9000

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Jedes Beispiel mit $\begin{align*} A=\emptyset \end{align*}$ tut es, denn da ist $\begin{align*} P(A \mid B) = P(A \mid B^c) = 0 \end{align*}$ .

29.04.2017, 12:47

blackBeatle

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Dürfte ich dann einfach sowas sagen wie:

Angenommen ja, dann ist die Aussage auch für $\begin{eqnarray*} A = \emptyset \end{eqnarray*}$ wahr. Dann ist $\begin{eqnarray*} P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} A \cap B = \emptyset \cap B \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Dies ist jedoch ein Widerspruch. Für $\begin{eqnarray*} A = \emptyset \end{eqnarray*}$ würde sich $\begin{eqnarray*} P(A \mid B)=0 \end{eqnarray*}$ ergeben, was im Gegensatz zur Forderung $\begin{eqnarray*} P(A \mid B) > 0 \end{eqnarray*}$ steht.

Könnte ich das so machen? smile

29.04.2017, 13:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von blackBeatle
Dürfte ich dann einfach sowas sagen wie:

Angenommen ja, dann ist die Aussage auch für $\begin{eqnarray*} A = \emptyset \end{eqnarray*}$ wahr. Dann ist $\begin{eqnarray*} P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Wie kommst du denn auf diese erstaunliche Schlussfolgerung? Ganz im Gegenteil, der Zähler ist Null, und damit auch der Gesamtterm. unglücklich

29.04.2017, 13:09

blackBeatle

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Ja, genau das habe ich ja im weiteren Verlauf das Beweises auch versucht auszudrücken. Vielleicht einfach überlesen. Aber vielen Dank für die Hilfe. Freude

29.04.2017, 13:12

Huggy

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Zitat:

Original von blackBeatle
Angenommen ja, dann ist die Aussage auch für $\begin{eqnarray*} A = \emptyset \end{eqnarray*}$ wahr. Dann ist $\begin{eqnarray*} P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Woraus folgerst du das?

Zitat:

was im Gegensatz zur Forderung $\begin{eqnarray*} P(A \mid B) > 0 \end{eqnarray*}$ steht.

Das ist nicht gefordert.

Transparenter scheint mir folgende Argumentation: Wenn $\begin{eqnarray*} A= \emptyset \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} A\cap B = \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cap B^C=\emptyset \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(A|B)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(A|B^C)=0 \end{eqnarray*}$ , was einen Widerspruch zu der geforderten Aussage ergibt.

Auch bei $\begin{eqnarray*} A\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ist die Aussage nicht allgemeingültig. Bei z. B. $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0<P(A)<P(B) \end{eqnarray*}$ ergibt sich auch sofort ein Widerspruch zu der Behauptung.

Konkretes Beispiel: Würfel mit Laplacewahrscheinlichkeit. Es sei z. B.

$\begin{eqnarray*} B=\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B^C=\{4,5,6\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\{1\} \end{eqnarray*}$

29.04.2017, 13:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von blackBeatle
Ja, genau das habe ich ja im weiteren Verlauf das Beweises auch versucht auszudrücken. Vielleicht einfach überlesen.

Ich hab nichts überlesen. Du hast dich einfach völlig verkorkst ausgedrückt, d.h., deine Argumentationsreihenfolge ist in keinster Weise logisch stringent - und somit nicht akzeptabel. Das ist es, was ich mit meinem Einwurf kritisiere. unglücklich

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