Komplexes Polynom schreiben als Polynom mit komplex Konjugierter

29.04.2017, 13:08

forbin

Komplexes Polynom schreiben als Polynom mit komplex Konjugierter

Hallo,

ich habe hier folgende Aufgabe:
Schreiben Sie das Polynom $\begin{eqnarray*} p(x+iy) = 8x^{3}+2xy+8y^{3} \end{eqnarray*}$ in der Form $\begin{eqnarray*} p(x,\overline{x}) = \sum_{i,j}a_{ij}z^{i}\overline{z}^{j} \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz war der Versuch einer Polynomdivision mit (x+iy), da (0,0) eine Nullstelle ist.
Das war aber nicht zielführend bzw. ging auch nicht auf (was mich eigentlich wundert, sollte das nicht aufgehen verwirrt

).

Leider finde ich keinen anderen Ansatz, auch kein Beispiel dazu.

29.04.2017, 13:19

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RE: Komplexes Polynom schreiben als Polynom mit komplex Konjugierter
Wie kommst du auf Polynomdivision? verwirrt

Hier geht es um eine Koordinatentransformation, vergleichbar mit dem Übergang von Koordinaten x,y zu w=x+y, u=x-y im Reellen.
Benutze $\begin{eqnarray*} x=Re(z)=(z+\bar{z})/2 \end{eqnarray*}$ und entsprechend für y

29.04.2017, 15:30

forbin

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$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2}(z+\overline{z}), y=\frac{1}{2}(z-\overline{z}) \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} 8x^{3}+2xy+8y^{3} = (z+\overline{z})^{3} + \frac{1}{2}(z^{2}-\overline{z}^{2}) + (z+\overline{z})^{3} = ... = 2z^{3}\overline{z}^{0} + \frac{1}{2}z^{2}\overline{z}^{0} + 6z^{1}\overline{z}^{2} - \frac{1}{2}z^{0}\overline{z}^{2} \end{eqnarray*}$

29.04.2017, 18:11

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