Topologische Eigenschaften von Mengen |
| 29.04.2017, 16:14 | leyla.1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Topologische Eigenschaften von Mengen Rand und innere Punkte in Menge angeben: 1) Rand A = A i.P von A = leere Menge n.offen, abgeschlossen,unbeschränkt, n.kompakt 2) Rand B = i.P B = n.offen, abgeschlossen,unbeschränkt, n.kompakt 3) Rand C = i. P von C = C offen, nicht abgeschlossen,beschränkt, n.kompakt Legende: n. = nicht i.P = innere punkte |
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| 29.04.2017, 16:22 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1) und 2) sind richtig. Der Rand von 3) ist auch richtig. Mach dir über die anderen Dinge nochmal Gedanken oder begründe, wie du darauf gekommen bist. |
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| 29.04.2017, 16:31 | leyla.1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
i.P C = leere Menge ? 
Also ich habe so gedacht gehabt: Menge A ist abgeschlossen, weil der Rand enthalten ist. Menge A ist nicht offen, weil es einen Rand gibt. Menge A ist unbeschränkt, weil die Menge unendlich groß ist. Menge A ist nicht kompakt, weil sie nicht beschränkt ist. Das Gleiche gilt auch für Menge B. Menge C ist offen, weil die Randpunkte nicht zur Menge gehören. Menge C ist nicht abgeschlossen, weil es keinen Rand gibt. Menge C ist beschränkt, weil die Schranke bei z=2 liegt. Menge C ist nicht kompakt, weil die Menge nicht abgeschlossen ist. |
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| 29.04.2017, 17:18 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau, das Innere von C ist leer, also ist insbesondere C natürlich auch nicht offen. Zu deinen Überlegungen: Abgesehen, dass es sich dabei natürlich nicht um einen Beweis handelt, aber das ist dir denke ich selbst klar, ist eine Menge nicht unbedingt nicht offen, nur weil sie einen Rand hat, das ist vollkommen falsch. Auch ist C nicht deswegen nichtabgeschlossen, weil C keinen Rand hat, das stimmt außerdem garnicht. Der Rand von C ist sogar größer als C selbst. |
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| 29.04.2017, 17:36 | leyla.1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Irgendwie verstehe ich das nicht. Wenn doch eine Menge nicht offen ist, dann besteht die Menge nicht nur aus inneren Punkten. Heißt das nicht, dass sie abgeschlossen sein muss, weil es immer noch Randpunkte gibt? Irgendwie ist das kompliziert. |
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| 29.04.2017, 17:53 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bis hierhin stimmt das. Ich weiß nicht, wie du darauf kommst, dass die Menge dann abgeschlossen sein muss. Welche Definition von abgeschlossen verwendest du und wieso glaubst du, dass diese Definition hier erfüllt ist? |
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| 29.04.2017, 18:42 | leyla.1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe mir das immer an einem Intervall klar gemacht, wenn im Intervall beide Randpunkte drin sind, dann ist das Intervall abgeschlossen. Wenn ich jetzt wieder so darüber nachdenke: Wenn doch eine Menge nicht offen ist, dann besteht die Menge nicht nur aus inneren Punkten. Wenn allerdings die Menge dann auch noch aus Randpunkten besteht, dann ist die Menge weder abgeschlossen noch offen oder? Angenommen man nimmt eine Menge z.B. [1,2], dann ist das Komplement davon offen oder? |
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| 29.04.2017, 20:01 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das das nicht stimmt, solltest du auch dann schon sehen, wenn du dir die Konzepte an Intervallen klar machst. Beispielsweise ist nicht offen, weil nicht jeder Punkt ein innerer Punkt ist. Deswegen ist sie aber noch lange nicht abgeschlossen. Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte enthält. Ich verstehe daher nicht, wieso du meinst, dass eine Menge nicht abgeschlossen sein kann, wenn sie ihre Randpunkte enthält. |
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| 29.04.2017, 20:06 | leyla.1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube, dass ich das ein wenig verstanden hab. Also zurück zu den Mengen. Die Menge A enthält keine inneren Punkte, weshalb die Menge A nicht offen ist. Also die Menge A enhält nur Randpunkte. Woher soll man aber wissen, ob sie alle ihre Randpunkte enthält? |
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| 29.04.2017, 20:19 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein etwas einfacheres Kriterium von Abgeschlossenheit wäre, dass jeder mögliche Folgengrenzwert von konvergenten Folgen, die ganz in der Menge liegen, selbst wieder in der Menge liegt. Versuche, dazu ein Gegenbeispiel zu finden. Mit: Eine Menge, die keinen inneren Punkt enthält, kann nicht offen sein, muss man auch aufpassen. Das stimmt nur, wenn die Menge nicht schon selbst leer ist. |
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| 29.04.2017, 23:58 | leyla.1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verstehe. Aber nochmal die überarbeitete Version: Menge A: n.offen, abgeschlossen,unbeschränkt, n.kompakt Menge B: n.offen, abgeschlossen(unsicher) Weil das Quader sich ja im unendlichen auf y-Achse ausbreitet und ob da dann alle Randpunkt enthalten sind ist fragwürdig) ,unbeschränkt, n.kompakt Menge C: nicht offen, abgeschlossen,beschränkt, n.kompakt |
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| 30.04.2017, 22:58 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
C ist leider immer noch nicht richtig. Die Menge ist nicht abgschlossen. Wenn sie es wäre, müsste sie ja auch kompakt sein, da sie beschränkt ist. |
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| 30.04.2017, 23:00 | leyla.1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn die Menge so aussieht, wäre sie abgeschlossen oder? 
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| 30.04.2017, 23:01 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, genau. |
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| 30.04.2017, 23:02 | leyla.1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok ich glaub ich habe das einigermaßen verstanden. Gibt es eigentlich Mengen, deren only Rand (0,0) ist? |
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| 30.04.2017, 23:06 | Clearly_wrong | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, etwa oder |
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| 30.04.2017, 23:22 | leyla.1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für deine Hilfe. 
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