Kesselleser

29.04.2017, 22:20

Dopap

Kesselleser

Erstaunlich mit was sich manche Leute beschäftigen. Da werden tagelang Roulettpermanenzen notiert um dann festzustellen , dass gewisse Zahlen häufiger ( absolut ) fallen als andere Zahlen.
Das Ganze sind "Kesselanomalien" die jetzt ausgenützt werden sollen. Mit ein paar tausend Permanenzen sind die sicher nicht zu entdecken.
Davon abgesehen werden die Kessel penibel gewartet und immer wieder untereinander getauscht.
Selbst ein untadeliges Zufallsgerät wie die Lottotrommel liefert verschiedene absolute Häufigkeiten und das muss auch so sein.

Beispiel Würfel: wenn bei 600 Würfen jede Zahl genau 100 mal fällt, dann ist das verdächtig.
Mit der Chi² Verteilung überprüft man ob die hier zu erwartende Gleichverteilung vorliegt.
In obigen Falle wäre der Chi²-Wert Null und ziemlich unwahrscheinlich.
Große und kleine Chi² Werte sind unwahrscheinlich. Die Varianz könnte darüber Genaueres aussagen.

Wie berechnet man aber Erwartungswert und Varianz verwirrt

30.04.2017, 17:32

SHigh

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RE: Kesselleser
Hallo,

Zitat:

Mit der Chi² Verteilung überprüft man ob die hier zu erwartende Gleichverteilung vorliegt. In obigen Falle wäre der Chi²-Wert Null und ziemlich unwahrscheinlich.

Du willst also mit dem Chi^2-Test überprüfen, ob eine Gleichverteilung vorliegt (?). Dann erhälst du in deinem Beispiel für die Testgröße Null. Meinst du das mit dem Chi²-Wert?
Damit kannst du $\begin{eqnarray*} H_0 =\{\text{Es liegt eine Gleichverteilung vor}\} \end{eqnarray*}$ zu keinem Niveau $\begin{eqnarray*} \alpha >0 \end{eqnarray*}$ ablehen.

Zitat:

Die Varianz könnte darüber Genaueres aussagen.

Die Varianz wovon kann worüber eine genauere Aussage machen? Den Erwartungswert welcher Zufallsgröße möchtest du berechnen?
Leider vestehe ich dich nicht.

Gruß

30.04.2017, 18:53

Dopap

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in Ordnung.

besser: die Testgröße CHI² mit dem Freiheitsgrad 5. Dieser hätte den Wert Null. Dieser Wert lässt keine Ablehnung der Gleichverteilung zu, ist aber zu niedrig, nicht zufällig genug. Welcher Wert ist zu erwarten?
Und wie groß ist dabei die zu erwartende Varianz ?

Also : ein zu kleiner Testwert z.B. bei Publikationen von angeblichen Versuchen lässt den Verdacht der Datenmanipulation aufkommen
ein zu großer Wert den Verdacht eines gezinkten Würfels.
---------------------------
Ich habe mal gehört dass dieser Test für große n ziemlich scharf sei , beinahe jeder reale Würfel wird als asymmetrisch entlarvt. verwirrt

30.04.2017, 20:53

SHigh

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Hm, so ganz verstehe ich dich immer noch nicht.

Zitat:

Welcher Wert ist zu erwarten? Und wie groß ist dabei die zu erwartende Varianz ?

Nochmals: die Varianz von was? Von der Testgröße? Wie groß die erwartete Streuung ist, wenn eine Gleichverteilung vorliegt?

Meiner Meinung nach läuft deine Frage auf die Konvergenzgeschwindigkeit der Testgröße CHI² hinaus, welche sehr eng mit der im zentralen Grenzwertsatzes zusammenhängen sollte. Hierzu solltest du einmal Prinzipien großer Abweichungen studieren, als Stichwort wäre hier sicher der Satz von Cramér-Chernoff angebracht (siehe z.B. Baur, WT: Satz 12.4). Unter stärkeren Voraussetzungen sind noch viel genauere Ergebnisse möglich.

30.04.2017, 23:04

Dopap

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Du hast ja recht. Ich versuche mal mich verständlicher auszudrücken ... Augenzwinkern

Ein Zufallsversuch habe s mögliche Ergebnisse. Jetzt möchte ich die Hypothese $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ testen, dass diese Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p_1,p_2 , ... , p_s \end{eqnarray*}$ haben. Wird der Versuch n mal wiederholt dann sind die Häufigkeiten $\begin{eqnarray*} np_1 ,np_2, ... , np_s \end{eqnarray*}$ zu erwarten.
In Wirklichkeit werden die Häufigkeiten $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,...,X_s \end{eqnarray*}$ beobachtet. Maß für die Abweichung sei $\begin{eqnarray*} \chi^2= \sum_{k=1}^s \frac {(X_k-np_k)^2}{np_k} \end{eqnarray*}$
Unwahrscheinlich große Werte von $\begin{eqnarray*} \chi^2 \end{eqnarray*}$ machen die Hyothese $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ verdächtig.
Zur Beurteilung brauche ich Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} \chi^2 \end{eqnarray*}$
Ich versuch's mal:

Jedes $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ ist binomialverteilt mit den Parametern $\begin{eqnarray*} n , p_i \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} V(X_i)=E(X_i-np_i)^2=n(p_i(1-p_i)) \Rightarrow E(\chi^2)=\sum_{k=1}^s \frac {np_k(1-p_k)}{np_k}=\sum_{k=1}^s(1-p_k)=s-1 \end{eqnarray*}$ richtig ?

Aber die Varianz von $\begin{eqnarray*} \chi^2 \end{eqnarray*}$ ist mir total unklar verwirrt

Ein guter Näherungswert für große n samt Irrtumswahrscheinlichkeit wäre schon hilfreich.

01.05.2017, 09:28

SHigh

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Hallo,

also für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ sollte die Verteilung klar sein. Dann ist die Testgröße $\begin{eqnarray*} \chi^2 \end{eqnarray*}$ ja gerade Chi-Quadrat-verteilt, mit $\begin{eqnarray*} s-1 \end{eqnarray*}$ Freiheitsgraden. Das ganze folgt aus dem zentralen Grenzwertsatz. Daher kommt ja der Name des Tests. Für die Chi-Quadrat-Verteilung $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ Freiheitsgraden gilt:

$\begin{eqnarray*} \mathbb E(X)=s \quad \text{und} \quad \mathbb V(X)=2s. \end{eqnarray*}$

Für die Teststatistik folgt somit

$\begin{eqnarray*} \mathbb E(\chi^2)=s-1 \quad \text{und} \quad \mathbb V(\chi^2)=2(s-1). \end{eqnarray*}$

Damit hast du ja eine Näherung für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und über die Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung kannst du deine Irrtumswahrscheinlichkeit festelegen.

Ob man das ganze auch exakt machen kann, keine Ahnung. Es gibt zum Beispiel Permuatationstest, die sogar exakt zu finitem Stichprobenumfang sind (und deren Quantile bei weitem besser zu simulieren sind). In der Testtheorie wir jedoch meist mit dem Grenzverteilungen gerechnet, so wie in allen bekannten Test zur Normalverteilung (Gauß-, t-,F-,...). Falls du dich, wie ich bereits in dem vorangegangenen Post vermutet habe, an den Abweichungen der Teststatistik von der Chi-Quadrat-Verteilung interessiert bist (für finites n), dann kann ich mich nur wiederholen smile

.

Liebe Grüße

01.05.2017, 12:31

Dopap

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Man muss nur gescheit Fragen und bekomm dann auch gescheite Antworten. Augenzwinkern

Schade, dass du nicht angemeldet bist, hier sind Stochastiker dünn gesät.
Als Amateur und Praktiker möchte ich das gleich mal testen:

Ein Würfelversuch - aus einem Spielebuch - liefert:

code:
1: 2: 3: 4:	Augenzahl i..............1_____2_____3_____4_____5_____6 Häufigket Xi............175___215___220___190___170___230 erw. Häufigkeit npi.....200___200___200___200___200___200

$\begin{eqnarray*} \chi^2=13.25>11.32 = 6-1 + 2\sqrt{2(6-1)} \end{eqnarray*}$

liegt über der $\begin{eqnarray*} 2\sigma \end{eqnarray*}$ Grenze.
Der Würfel dürfte unsymmetrisch sein. Die Irrtumswkt. dürfte unter 5% liegen.

01.05.2017, 13:04

SHigh

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Hallo,

betrachten wir doch zunächst mal den Chi-Quadrat-Test:

Dann erhälst du für dein Teststatstik $\begin{eqnarray*} \chi^2=13.25 \end{eqnarray*}$ . Damit kannst du einen p-Wert ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} p=P(\chi^2>13.25)=0.021 \end{eqnarray*}$ .

Damit kannst du $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ zu jedem Niveau $\begin{eqnarray*} \alpha \geq p \end{eqnarray*}$ verwerfen.

Was es mit der $\begin{eqnarray*} 2\sigma \end{eqnarray*}$ Grenze auf sich hat, keine Ahnung. Das wird wahrscheinlich in der Praxis genutzt, dazu kann ich aber leider nichts sagen.

01.05.2017, 14:12

Dopap

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in Analogie zum Vertrauensintervall $\begin{eqnarray*} \overline X \pm 1.96\sigma \end{eqnarray*}$ von 95%.

bei den Normalverteilungen die sogenannte $\begin{eqnarray*} 2\sigma \end{eqnarray*}$ Regel.

Wie , wo finde ich $\begin{eqnarray*} P(\chi^2>13.25 )=0.021 \end{eqnarray*}$ ?

01.05.2017, 15:42

Huggy

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Mit einem Rechner oder Programm, der das kann oder durch Interpolation aus einer Tabelle, z.B.

https://de.wikibooks.org/wiki/Statistik:...rat-Verteilung.

Übrigens komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{25^2 + 15^2 + 20^2 + 10^2 + 30^2 + 30^2}{200}=15.75 \end{eqnarray*}$

01.05.2017, 17:57

Dopap

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richtig , vertippt!

Inzwischen habe ich die Tiefen des Handbuches des hp50g Emulators durchforstet und bin fündig geworden:
mit dem Befehl UTPC = Upper Tail Probability Chi wird der obere kummulative Teil berechnet:

$\begin{eqnarray*} \rm UTPC(5,15.75)=0.0076 \end{eqnarray*}$ Hammer

d.h. der Würfel ist auch auf dem 1% Niveau asymmetrisch.

Danke fürs Mitlesen

01.05.2017, 18:57

Huggy

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Wenn man sich die Zahlen des Beispiels ansieht, kommt einem der Verdacht, dass die nicht mit einem realen Würfel ausgewürfelt wurden, sondern frei erfunden sind.

01.05.2017, 19:37

Dopap

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das ist eben die Krux mit bedrucktem Papier. Statistische Sachen werden eben gerne geschönt oder glatt erfunden.
Ist die Testgröße zu klein besteht der Verdacht der Beschönigung , der Glättung.

Ich habe auch meine Zweifel ob in reality ein Würfel 1200 mal geworfen wurde.
Wahrscheinlich rechnete der Autor nicht damit, dass darauf mal ein Chi²-test angesetzt wird Big Laugh

--------
edit: die Permanenzen aller Spielbanken und Tische werden laufend online gesetzt.
Da braucht man nicht mehr mit dem Notizblock in die Spielbank gehen.
Die Spielbanken haben ja auch nichts zu verbergen , die haben ja die Null auf ihrer Seite Augenzwinkern

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Kesselleser

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