Satz vom Fussball

30.04.2017, 16:03	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz vom Fussball Guten Tag zusammen. Meine Aufgabe ist es den Satz vom Fussball zu zeigen. Dafür sollen wir aber zuerst einmal drei kleine Aussagen beweisen und schlussendlich den Satz folgern. Leider habe ich mit allen ziemliche Mühe. Die erste Aussage die bewiesen werden soll ist: Sei $\begin{align} S^2=\{v\in \mathbb{R}^3\| \\|v\\|=1\} \end{align}$ , wobei $\begin{align} \\|\cdot\\| \end{align}$ die Norm zum standard inneren Produkt auf $\begin{align} \mathbb{R}^3 \end{align}$ sei. Sei $\begin{align} f:S^2\to S^2 \end{align}$ eine Isometrie, dh. für alle $\begin{align} v,w \in S^2 \end{align}$ gilt $\begin{align} \\|f(v)-f(w)\\|=\\|v-w\\| \end{align}$ . Dann existiert ein durch $\begin{align} f \end{align}$ eindeutig bestimmter orthogonaler Endomorphismus $\begin{align} T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 \end{align}$ , sodass $\begin{align} f=T\|_{S^2} \end{align}$ ist. Ich muss nun also zeigen, dass so ein $\begin{align} T\in End(\mathbb{R}^3) \end{align}$ mit $\begin{align} T\|_{S^2}=f \end{align}$ existiert und auch eindeutig ist. Leider weiss ich bei beidem nicht wirklich wie ansetzten... Hoffe mal jemand hat ein paar Tipps. Gruss Sito
30.04.2017, 16:49	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Du weißt doch sicher, dass man, wenn man weiß, was eine lineare Abbildung auf einer Basis macht, auch weiß, was sie überall macht. Nun enthält $\begin{align} S^2 \end{align}$ doch jede Menge Auswahl für eine Basis, und du weißt auch, was $\begin{align} T \end{align}$ auf $\begin{align} S^2 \end{align}$ machen soll, du kannst also einfach diese Standardkonstruktion verwenden. Die Eindeutigkeit bekommt man daraus auch sofort geschenkt.
30.04.2017, 18:39	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid, aber ich verstehe es wirklich nicht... Mir ist schon klar, dass $\begin{align} S^2 \end{align}$ der Fussball im $\begin{align} \mathbb{R}^3 \end{align}$ sein soll und mir ist auch klar, dass man hier z.B. die Standardbasis des $\begin{align} \mathbb{R}^3 \end{align}$ als Basis von $\begin{align} S^2 \end{align}$ wählen kann. Aber woher soll ich denn wissen was $\begin{align} T\|_{S^2} \end{align}$ machen soll? Kann ich hier einfach davon ausgehen, dass man mit $\begin{align} T \end{align}$ die vollständige Drehung des Fussballs nach der ersten Hälfte meint? Falls mit $\begin{align} f \end{align}$ tatsächlich einfach eine Drehung gemeint sein sollte, so sehen ich natürlich schon, dass man $\begin{align} f \end{align}$ mit einem orthogonalen Endomorphismus beschreiben kann der ähnlich ist zu $\begin{align} \begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos\vartheta&-\sin\vartheta\\0&\sin\vartheta&\cos\vartheta\end{pmatrix} \end{align}$ . Ich meine die Aussage stimmt doch auch kompeltt unabhängig vom Satz und von daher kann ich ja nur schlecht wissen um was es sich bei $\begin{align} f \end{align}$ genau handeln soll...

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