Bedingte Dichte im stetigen Fall

01.05.2017, 10:36	F14	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Dichte im stetigen Fall Meine Frage: Hallo! Für zwei ZVen X, Y mit gemeinsamer Dichte f(x,y) und Randdichte f_Y(y) ist ja die bedingte Dichte als f(X \| Y=a) = (f(x,a))/(f_Y(a)) definiert. Für diskrete ZVen wiederum ist ja P(X<=x \| Y=a) = (P(X<=x und Y=a)/(P(Y=a) was ja intuitiv klar ist. Meine Ideen: Kann mir jemand erklären inwiefern der Ansatz für stetige ZVen eine "verstetigte" Verallgemeinerung des diskreten Falles ist. Dass die so definierte Funktion die Eigenschaften einer Dichte erfüllt ist mir klar, bloß wieso wird es eben genau so definiert und nicht anders?
01.05.2017, 12:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die exakte Erklärung über bedingte Erwartung setzt schon ein gutes Maßtheorieverständnis voraus und ist ziemlich trockener Natur - den meisten hilft sie nicht sonderlich beim Verständnis. Ich versuche es eher mal den heuristisch motivierten Zugang: $\begin{align} P(X\leq x \mid Y=a) = \frac{P(X\leq x\,\wedge\, Y=a)}{P(Y=a)} \end{align}$ klappt ja im Fall stetiger Zufallsgrößen nicht, wegen $\begin{align} P(Y=a)=0 \end{align}$ und deswegen Struktur "0/0". Also geht man ähnlich vor wie bei der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten, d.h., man betrachtet den Grenzwert von $\begin{align} \frac{P(X\leq x\,\wedge\, a\leq Y\leq a+h)}{P(a\leq Y\leq a+h)} \end{align}$ für $\begin{align} h\searrow 0 \end{align}$ . Für kleine $\begin{align} h \end{align}$ sowie Stetigkeitsstellen $\begin{align} a \end{align}$ von $\begin{align} f_Y \end{align}$ ist nun $\begin{align} P(a\leq Y\leq a+h)= \int\limits_a^{a+h} f_Y(u)~ \dd u = h\cdot f_Y(a)+o(h) \end{align}$ sowie auch $\begin{align} P(X\leq x\,\wedge\, a\leq Y\leq a+h) = \int\limits_a^{a+h} \int\limits_{-\infty}^x f(t,u) ~ \dd t ~ \dd u = h\int\limits_{-\infty}^x f(t,a) ~ \dd t + o(h) \end{align}$ und damit $\begin{align} \lim_{h\searrow 0} \frac{P(X\leq x\,\wedge\, a\leq Y\leq a+h)}{P(a\leq Y\leq a+h)} = \frac{1}{f_Y(a)} \cdot \int\limits_{-\infty}^x f(t,a) ~ \dd t \end{align}$ . Es dürfte plausibel sein, dass man nun für (fast) alle $\begin{align} a \end{align}$ fordert, dass $\begin{align} P(X\leq x \mid Y=a) \end{align}$ dann diesem Wert entspricht. Die zugehörige Dichte als Ableitung nach $\begin{align} x \end{align}$ ist dann $\begin{align} \frac{1}{f_Y(a)} \cdot f(x,a) \end{align}$ .
01.05.2017, 12:20	F14	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, auf so eine Erklärung hatte ich gehofft!

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