Integrieren von sin^2(x)/cos(x)

02.05.2017, 18:22

thz123

Integrieren von sin^2(x)/cos(x)

Meine Frage:
Hallo, ich soll eine Stammfunktion von sin^2 (x)/cos(x) finden.

Meine Ideen:
Ich habe es schon versucht umzuschreiben in sin(x) * tan(x) und dann über substitution und partieller Integration (3-fache) auf eine Lösung zu kommen, aber der Ausdruck wird nicht leichter.

Danke schonmal für einen möglichen Ansatz.

02.05.2017, 18:54

HAL 9000

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Hmm, das ist wohl ein Fall für die sogenannte Weierstraß-Substitution (mitunter auch als Generalsubstitution bezeichnet).

Vorher sollte man aber noch via

$\begin{align*} \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)} = \frac{1-\cos^2(x)}{\cos(x)} = \frac{1}{\cos(x)} - \cos(x) \end{align*}$

etwas abtrennen.

02.05.2017, 19:10

thz123

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Ich bin mir sehr sicher, dass wir die noch nicht definiert haben. Also muss es wohl auch irgendeinen anderen Weg geben, den ich auch gehen muss verwirrt

02.05.2017, 19:18

HAL 9000

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Ja klar gibt es andere Wege. Die allerdings wohl außergewöhnlicher Eingebung bedürfen, während der Weierstraß-Weg ziemlich systematisch ist, und keine besonderen Geniestreiche benötigt.

Zitat:

Original von thz123
Ich bin mir sehr sicher, dass wir die noch nicht definiert haben.

Es ist eine normale Substitution (auch wenn sie in Verbindung mit ein paar Additionstheoremen angewandt wird). Und die habt ihr ja wohl gehabt, oder?

02.05.2017, 19:50

thz123

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ja klar, durchblicke die Substitution aber noch nicht wirklich.

02.05.2017, 20:40

grosserloewe

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Alternativ:

Substituiere:

$\begin{eqnarray*} z= sin(x) \end{eqnarray*}$

und wende an:

$\begin{eqnarray*} cos^2(x) = 1 -sin^2(x) \end{eqnarray*}$

dann bekommst Du:

$\begin{eqnarray*} \int\! \frac{z^2}{1 -z^2} \, dz \end{eqnarray*}$

und das ist ja einfach zu lösen.

Wink

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