Infinitesimale Zahlen und Perioden |
02.05.2017, 21:42 | nikob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Infinitesimale Zahlen und Perioden Mir ist bei einigen Divisionen aufgefallen dass nach einer Periode nochmals eine Zahl oder eine ganze Periode kommen kann. (Ich weiß nicht wie man Perioden am Pc anschreibt deshalb werde ich sie hier mit p in Klammern und der periodischen Zahl angeben.) Meine Ideen: Z.B.: 0,3(3p):2= 0,16(6p) laut Taschenrechner Zwar ist 0,16(6p)*2= 0,3(3p), aber da 6*2 niemals 13 ergeben kann ist das Ergebnis um einen unendlich kleinen Fehler falsch. Das kann ich so zeigen: 0,16*2= 0,32; 0,166*2=0,332; 0,1666*2=0,3332 usw. -> 0,16(6p)*2= 0,32(3p) Der Fehler kommt allerdings von dem Ergebnis der Division. 0,3(3p):2 = 0,165 (6p) Weil: 0,3:2= 0,15; 0,33:2= 0,165; 0,333:2= 0,1665; usw. -> Anzahl der 3er= Anzahl der 6er -1 -> bei unendlich 3ern: unendlich 6er; aber die 5 am Ende bleibt -> das genaue Ergebnis =0,165(6p) Rechnet man nun 0,165(6p) *2 erhält man 0,3(3p). Die Gegenprobe stimmt also. Es können aber nicht nur einzelne, endlich viele Zahlen nach einer Periode folgen, sondern auch weitere Perioden. Der Unterschied zwischen der "vollständigen" Zahl und der "herkömmlichen" ist natürlich trotzdem unendlich klein, aber beträgt trotzdem unendlich viele Stellen. Z.B.: 4:0,3(3p)= 12,012 (0p12; (0p12)p) Weil: 4:0,33= 12,12(12p); 4:0,333= 12,012 (012p); 4:0,3333= 12,0012(0012p) Bei unendlich 3ern: unendlich 0er aber die 12 wiederholt sich periodisch (nach unendlich 0ern) Das ist natürlich paradox weil 4: 1/3 = 4*3= 12. Dennoch kann gezeigt werden dass 4: 0,3(3p)= 12,012 (0p12; (0p12)p). Wieso ist das so? Außerdem wird dieses Konzept in irgendeiner Form in der Mathematik angewandt? Es wird ja auch mit unendlich kleinen Näherungen gerechnet und infinitesimal Nachbarn sind ein bekanntes Konzept. Gibt es einen eleganteren Weg zum Berechnen dieses "Fehlers"? Freue mich über Antworten! |
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02.05.2017, 21:51 | willyengland | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: infinitsimale Zahlen und Perioden
Ich denke, hier liegt der Fehler. Nach unendlich vielen Nullen kann nichts mehr kommen.
Dann zeige das mal. |
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02.05.2017, 21:56 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist schlicht falsch: Es ist , (ich verwende die übliche Symbolik für derartige Perioden, eine Linie über den Ziffern, die die Periode bilden). Also nichts mit deinem 12,012, welches hier unbegründet vom Himmel fällt.
Das mag auf eine endlich oft wiederholte Ziffernsequenz zutreffen. Bei einer unendlichen Periode (wie sie bei Dezimalbrüchen von rationalen Zahlen üblicherweise anzutreffen ist) gibt es schlicht kein "danach". Zumindest nicht in der Mathematik - vielleicht in der Metaphysik. |
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02.05.2017, 22:27 | nikob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: infinitsimale Zahlen und Perioden Lieber Willi, die weiteren Zahlen würden ja nur theoretisch folgen und sind unendlich klein. Dennoch können sie einen (logischen und unendlich kleinen) Fehler verursachen (wie beim ersten Beispiel) und sind vorhanden. Mir ging es eher darum zu zeigen, dass man auf diese Weise einen Blick hinter die unendliche Folge von Zahlen erhaschen kann und sehen kann dass sich dort etwas ist und was. Gezeigt hab ich es ja da: 4:0,33= 0,12121212..... (12p); 4:0,333=0,120120120.... (120p); 4:0,3333= 0,120012001200.... -> je mehr 3er im Dividend desto mehr 0er hinter der 0,12 und vor der nächsten 12 -> unendlich 3er => unendlich 0er vor und hinter jeder 12 (bei der ersten nur hinter) -> nach unendlich 0ern kommt eine 12 gefolgt von unendlich 0ern Danke für die Antwort, nikob |
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02.05.2017, 22:40 | nikob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist ja nicht einfach vom Himmel gefallen. Gezeigt hab ich es ja da: 4:0,33= 0,12121212..... (12p); 4:0,333=0,120120120.... (120p); 4:0,3333= 0,120012001200.... -> je mehr 3er im Dividend desto mehr 0er hinter der 0,12 und vor der nächsten 12 -> unendlich 3er => unendlich 0er vor und hinter jeder 12 (bei der ersten nur hinter) -> nach unendlich 0ern kommt eine 12 gefolgt von unendlich 0ern Kannst du mir sagen wo der Fehler liegt? Bei den Divisonsreihen habe ich ja eben versucht zu beweisen das nach der Periode eine Zahl etc. kommen würde. Mir ist natürlich klar dass man nie so weit zählen, rechnen oder ähnliches kann. Das der Unterschied in den rellen Zahlen unendlich klein ist = infinitesimal ist mir klar. Aber es gibt sehr wohl Bereich der Mathematik die sich mit solchen Zahlen befassen -> siehe hyperreelle Zahlen. Grüße, nikob |
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03.05.2017, 00:04 | 005 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Dezimalbruchentwicklung zeichnet sich genau dadurch aus, dass man stets angeben kann, welche Ziffer an der -ten Stelle nach dem Komma steht. Das schliesst aus, dass es noch Ziffern nach einer Periode geben kann, denn fuer die waeren gar keine Platznummern mehr zu haben; die Periode hat schon alle in Beschlag genommen. Wegen der archimedischen Anordnung der reellen Zahlen, kann es keine infinitesimalen reellen Zahlen geben. Das wurde schon zu Zeiten von Leibniz angemerkt. Infinitesimale Zahlgroessen kann man also bestenfalls in Obermengen von finden. Da aber andererseits jeder Dezimalbruch eine reelle Zahl darstellt, koennen infinitesimale Zahlgroessen keine Dezimalbruchentwicklung haben. Oder ganz platt gesagt: Deine ganzen Ueberlegungen kranken daran, dass Du das "Unendliche" vergewaltigst. Es soll kein Ende haben, aber Du machst ihm doch eines. |
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03.05.2017, 07:59 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man kann deine "endlichen" Rechnungen so verallgemeinern: Durch Erweitern mit 3 bekommt man , wobei auf der Summenformel der geometrischen Reihe basiert, hier angewandt für . (*) bedeutet aber auch, dass im Grenzübergang schlicht herauskommt. Wenn es dir Spaß macht, dann kannst du natürlich statt 12 auch schreiben, es bleibt am Ende aber doch Wert 12. |
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03.05.2017, 13:28 | nikob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok danke an alle die geantwortet haben! Ich denke jetzt ist es klar! Liebe Grüße, nikob |
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