Beweis - Zahlentheorie

03.05.2017, 11:38	Phiilipp	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis - Zahlentheorie Meine Frage: Servus! Folgendes gilt es zu beweisen: Für alle teilerfremden $\begin{eqnarray} a,b\in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} a\|c\ \wedge\ b\|c\ \Rightarrow\ ab\|c \end{eqnarray}$ Meine Ideen: PFZ: $\begin{eqnarray} a = \prod\limits_{i=1}^{k} p_i^{\alpha_i},\quad b = \prod\limits_{i=1}^{k} p_i^{\beta_i} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha_i=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \beta_i=0 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} a\|c\ \Rightarrow\ aq_1=c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b\|c\ \Rightarrow\ bq_2=c \end{eqnarray}$ "Mal": $\begin{eqnarray} abq=c^2 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} q\prod\limits_{i=1}^{k} p_i^{max\{\alpha_i, \beta_i\}}=c^2 \end{eqnarray}$ Uuund... weiter komme ich nicht... Freue mich über jede Hilfe!
03.05.2017, 11:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, ich weiß jetzt nicht, ob man da im Beweis unbedingt auf den Fundamentalsatz der Zahlentheorie (Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung) zurückgreifen sollte, der schon ein ziemlich starkes Geschütz ist und dessen Beweis meiner Kenntnis nach auch auf dieser hier ja gerade erst zu beweisenden Aussage fußt - und das wäre dann ein Zirkelschluss. Wie der Beweis einer solchen elementaren Teilbarkeitsaussage wie hier anzulegen ist, hängt in entscheidendem Maße davon ab, was du bereits kennst und benutzen darfst (ich denke z.B. an sowas wie das Lemma von Euklid). Da sind uns leider ziemlich die Hände gebunden, wenn du uns dies nicht mitteilst.

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