Konvergenz von Reihen

03.05.2017, 13:17

dubbox

Konvergenz von Reihen

Meine Frage:
Ich habe ein paar Aufgaben, bei denen ich mir nicht sicher bin, ob ich den richtigen Ansatz verwende. Es ist $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N, x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

1) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \tfrac{2n-1}{\sqrt{2}^n} \end{eqnarray*}$ 2) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \tfrac{n^2+7}{5n^2+1} \end{eqnarray*}$ 3) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n\tfrac{2n+1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ 4) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \tfrac{xn}{\sqrt{n}+x} \end{eqnarray*}$ 5) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \tfrac{x^n}{\sqrt[3]{n \sqrt[3]{n+1}}} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zu 1) - hier stehe ich auf dem Schlauch, probiert habe ich es via Quotientenkriterium.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \tfrac{2n-1}{\sqrt{2}^n} \Rightarrow \lim_{n \to \infty}\tfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n \to \infty}|\tfrac{2(n+1)-1}{\sqrt{2}^{n+1}}| \cdot \lim_{n \to \infty}|\tfrac{\sqrt{2}}{2n-1}| = \lim_{n \to \infty}|\tfrac{(2n+1)\cdot\sqrt{2}}{(\sqrt{2}^{n}\cdot\sqrt{2})\cdot(2n-1)}| = \lim_{n \to \infty}|\tfrac{(2n+1)}{(\sqrt{2}^{n})\cdot(2n-1)}| \end{eqnarray*}$ das sieht jetzt doch zu schön aus, als das es da keinen Trick gäbe oder? Aber ab hier stehe ich auf dem Schlauch.

zu 2) - via Quotientenkriterium
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \tfrac{n^2+7}{5n^2+1}\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\tfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n \to \infty}|\tfrac{(n+1)^2+7}{5(n+1)^2+1}| \cdot \lim_{n \to \infty}|\tfrac{5n^2+1}{n^2+7}| = \lim_{n \to \infty}|\tfrac{n^2+2n+8}{5n^2+10n+6}| \cdot \lim_{n \to \infty}|\tfrac{5n^2+1}{n^2+7}| = \lim_{n \to \infty}|\tfrac{5n^4+10n^3+41n^2+2n+8}{5n^4+10n^3+41n^2+70n+42}| \end{eqnarray*}$ bei dem nächsten Schritt bin ich mir jetzt nicht sicher ob das so erlaubt ist. Man erkennt ja das sich vom Zähler und Nenner nur $\begin{eqnarray*} 2n+8 \neq 70n+42 \end{eqnarray*}$ der Rest stimmt überein.

Deswegen würde ich so abschätzten.
$\begin{eqnarray*} 2n+8 < 70n+42 \Rightarrow 5n^4+10n^3+41n^2+2n+8 < 5n^4+10n^3+41n^2+70n+42 \Rightarrow \lim_{n \to \infty}|\tfrac{5n^4+10n^3+41n^2+2n+8}{5n^4+10n^3+41n^2+70n+42}| = \lim_{n \to \infty}\tfrac{|a_{n+1}|}{|a_n|} < 1 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ die Reihe konvergiert absolut.

zu 3) - Leipniz-Kriterium
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n\tfrac{2n+1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ da die Reihe alternierend ist, wende ich Leipniz an und schaue ob die Folge $\begin{eqnarray*} a_n = \tfrac{2n+1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist, also ob gilt für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N : a_{n+1} \leq a_n \end{eqnarray*}$

Gehen wir davon aus es gilt, dann $\begin{eqnarray*} \tfrac{2(n+1)+1}{(n+1)((n+1)+1)} = \tfrac{2n+3}{n^2+3n+2} = \tfrac{2n+1+2}{n^2+n+2n+2} \leq\tfrac{2n+1}{n^2+n}=\tfrac{2n+1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$ jetzt erkennt man $\begin{eqnarray*} \tfrac{2n+1+2}{n^2+n+2} = \tfrac{2n+1}{n^2+n} \Rightarrow \tfrac{2n+1+2}{n^2+n+2n+2} \leq \tfrac{2n+1}{n^2+n} \end{eqnarray*}$ da im Nenner $\begin{eqnarray*} +2n \end{eqnarray*}$ steht, was auf der rechten Seite der Ungleichung nicht auftaucht und der Term so kleiner wird. So erkennt man, $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \leq a_n \end{eqnarray*}$ gilt.

zu 4) Hier hab ich ehrlich gesagt gar keine Ahnung. unglücklich

zu 5) - Wurzelkriterium
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \tfrac{x^n}{\sqrt[3]{n \sqrt[3]{n+1}}} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \tfrac{x^n}{\sqrt[3]{n^2+n}} \end{eqnarray*}$ jetzt teste ich ob $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}<1 \end{eqnarray*}$ also
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{| \tfrac{x^n}{\sqrt[3]{n^2+n}}|}=\lim_{n \to \infty}\tfrac{|x|}{\sqrt[3n]{|n^2+n|}}=\lim_{n \to \infty}\tfrac{|x|}{1}=|x|<1 \end{eqnarray*}$ d.h. wenn $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ dann konvergiert die Reihe absolut. Bei $\begin{eqnarray*} |x|>1 \end{eqnarray*}$ divergiert sie und bei $\begin{eqnarray*} |x|=1 \end{eqnarray*}$ ist die Folge konstant 1 und somit divergiert die Reihe.

Vielen Dank schon einmal für die Hilfe und die Zeit!

03.05.2017, 13:32

HAL 9000

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