Bild einer Möbiustransformation bestimmen

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Alinaa19 Auf diesen Beitrag antworten »
Bild einer Möbiustransformation bestimmen
Meine Frage:
Guten Abend allerseits smile

Ich bräuchte bei der folgenden Aufgabe ein wenig Hilfe.

Bestimme das Bild von mit und zeige das f injektiv ist und stetig.

Meine Ideen:
Ich möchte mit dem Bild beginnen, mir ist aber bisher leider garnicht klar was ich wirklich unter dem Bild einer MT verstehen soll.

Also ich weiß das ich zur Berechnung einer Möbiustransformation auch 3 paarweise verschiedene Bildpunkte benutzten kann. (6-Punkte-Satz)
Zusätzlich habe ich mal die Inverse zu f(z) berechnet und herausgekommen ist: (wenn man setzt)


somit sollte es sich hierbei um die sogenannte Cayley-Abbildung handeln, wenn ich das nicht falsch verstanden habe.

Aber ich verstehe wie gesagt nicht wirklich was mit dem Bild gemeint ist und wie ich dies Berechnen kann. Würde mich sehr freuen wenn mir jemand vielleicht mal eine kleine erklärung, quasi "das Bild einer MT für dummies" geben könnte :/
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild einer Möbiustransformation bestimmen
Hallo,
ich nehme ja an, dass hier mit x und y der Realteil und Imaginärteil von z gemeint ist,
dann ist das Bild von f einfach die Menge aller Werte, die f annehmen kann, wenn z die beschriebene
Ausgangsmenge durchläuft. Augenzwinkern
Gruss ollie3
Alinaa19 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal Danke für die Antwort, verstanden habe ich es aber leider immernoch nicht verwirrt

Ich habe dazu noch einen anderen Beitrag hier im Forum gefunden h t t p : / / w w w.matheboard.de/archive/491492/thread.html und bin dort den Anweisungen von Leopold einfach mal gefolgt:

dort wird, wie ich schon oben benutzt habe auch die Umkehrfunktion berechnet:


und wenn ich hier den Schritt:


rechnerisch weiter lösen möchte, also mittels
dann komme ich zum Schluss auf bzw. .

Was soll mir dieses Ergebnis genau sagen? Also du sagtest das Bild von f sei einfach die Menge aller Werte die f annehmen kann. Heißt das also, dass mein Bild hier ist?

Und bedeudet das dann, das wenn ich ein beliebiges Element z = x+iy aus meiner Startmenge, welche ja die obere Halbebene des Einheitskreises ist, in f hinein stecke. Das dann nur Elemente mit negativem Realteil heraus kommen ?
Das verwirrt mich irgendwie alles unglücklich
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Möbius-Transformationen sind relativ leicht zu verstehen, wenn man gesehen hat, wie schön sie sind : https://www.youtube.com/watch?v=0z1fIsUNhO4

... und hier kannst du weiter studieren ... http://www2.math.uni-wuppertal.de/~fritz.../geo/ge_k4b.pdf
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