Vollständige Induktion Binomialkoeffizient

07.05.2017, 14:08	Hans7530	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Binomialkoeffizient Hallo, ich komme bei einem Beweis einfach nicht weiter, vielleicht könnte mir jemand helfen. Die Aussage $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (k + 1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ~\binom n k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =2^{n-1}(n+2)-1 \end{eqnarray}$ soll für $\begin{eqnarray} n \in ~\mathbb N~\geq 1 \end{eqnarray}$ bewiesen werden. Ich erläutere nun mal wie weit ich beim Induktionsschritt schon gekommen bin: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n+1}(k + 1)~\binom {n+1} k <br /> = \sum_{k=1}^{n+1}(k + 1)[~\binom {n} {k-1}+~\binom n k] <br /> = \sum_{k=1}^{n+1}(k + 1)~\binom {n} {k-1}+\sum_{k=1}^{n+1}(k + 1)~\binom {n} k <br /> = \sum_{k=1}^{n+1}(k + 1)~\binom {n} {k-1}+\sum_{k=1}^{n}(k + 1)~\binom {n} k +(n+2) \binom {n+1} k \end{eqnarray}$ IV einsetzten $\begin{eqnarray} = \sum_{k=1}^{n+1}(k + 1)~\binom {n} {k-1}+2^{n-1}(n+2)-1 +(n+2) \binom {n+1} k \end{eqnarray}$ Weiter bin ich bisher nicht gekommen, habt ihr einen Tipp für mich?
07.05.2017, 15:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich halte nicht sonderlich viel davon, das krampfhaft per Vollständiger Induktion nachweisen zu wollen. Vielmehr würde ich $\begin{align} k\binom{n}{k} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} = n\cdot \binom{n-1}{k-1} \end{align}$ sowie $\begin{align} \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} = 2^m \end{align}$ für $\begin{align} m=n \end{align}$ sowie $\begin{align} m=n-1 \end{align}$ nutzen: $\begin{align} \sum_{k=1}^{n} (k+1) \binom{n}{k} = \sum_{k=1}^{n} k\binom{n}{k} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = n\sum_{k=1}^{n} \binom{n-1}{k-1} + 2^n-1 = n2^{n-1} + 2^n - 1 \end{align}$ .
07.05.2017, 16:40	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder so: $\begin{eqnarray} (1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} ~\binom n k x^k \end{eqnarray}$ Multiplizieren mit $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} ~\binom n k x^{k+1} \end{eqnarray}$ Differenzieren nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} (1+x)^n+xn(1+x)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n} (k+1) ~\binom n k x^k \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} 2^n+n2^{n-1}=\sum_{k=0}^{n} (k+1) ~\binom n k \end{eqnarray}$ Induktion ist wirklich unnötig - da hat HAL (wie immer) recht. Wünsche einen schönen Sonntag!

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