Unteralgebra/Ideal Beweis

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Sabbse92 Auf diesen Beitrag antworten »
Unteralgebra/Ideal Beweis
Guten Tag,

sei . Zeigen Sie, das T eine Unteralgebra aber kein Ideal in ist.

In der Vorlesung hat wir nur den Begriff Algebra eingeführt. Welche Punkte müssen gezeigt werden, dass T eine Unteralgebra ist und das es kein Ideal ist ?


Im Internet steht zum Ideal nur etwas zu Ringen, ich betrachte in der Aufgabe aber doch eine Algebra, also eine bilineare Abbildung. Irgendwie wurden diese Begriffe in der Vorlesung nicht sauber definiert, sodass ich ziemlich verwirrt bin ...

MfG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unteralgebra/Ideal Beweis
Zitat:
Original von Sabbse92
... ich betrachte in der Aufgabe aber doch eine Algebra, also eine bilineare Abbildung.


Hoppla, da hast du einiges durcheinander gebracht. Eine Algebra ist ein Vektorraum, der ein Ring ist.
Eine Unteralgebra ist eine Teilmenge einer Algebra, die eine Algebra ist.

Zitat:
Original von Sabbse92
Im Internet steht zum Ideal nur etwas zu Ringen, ...


na, eben: Ringe haben Ideale.
 
 
Sabbse92 Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich zeigen, dass T ein Untervektorraum ist, d.h.

stabilität bzgl. Addition, Skalarrmultiplikation und der Nullvektor (Nullmatrix) muss enthalten sein.

Was muss genau muss ich beim ideal zeigen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Untervektorraum und Unterring, denn es soll ja eine Unteralgebra sein.
Ein Ideal ist ein spezieller Unterring : https://de.wikipedia.org/wiki/Ideal_(Ringtheorie) ... und du willst zeigen, dass es das nicht ist.
Sabbse92 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, die oberen Punkte beziehen sich auf einen Untervektorraum.

Um zu zeigen, dass es auch ein Unterring ist muss folgendes gelten:

- es muss ein neutrales Element geben, sodass für alle A Element T : A * e = e * A = A

- für alle A,B Element T : A-B, A * B Element T


Für den Idealbeweis zeige ich einfach, dass es nicht linkseitig bzw. rechtsseitig Ideal ist. Dazu nehme ich ein beliebiges Element C aus M und zeige:

(A Element T) impliziert nicht (A * C Element T)

Ist das soweit korrekt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

soweit ich sehe, ja.
Anmerkung: das neutrale Element der Multiplikation kann bei Matrizen nur die Einheitsmatrix sein, und die ist bekanntlich eine Dreiecksmatrix. Für einen Unterring muss man das nicht fordern. 1 des Rings ist immer 1 des Unterrings (wenn der Unterring ein Ring mit 1 ist).
Sabbse92 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte noch eine letzte Frage

Zitat:
Eine Algebra ist ein Vektorraum, der ein Ring ist.


Der Vektorraum ist auf einem Körper definiert. Warum betrachte ich aber einen Ring?

Auf Wiki steht folgendes:

Zitat:
Allgemeiner kann K ein kommutativer Ring sein, dann ist „Vektorraum“ durch „Modul“ zu ersetzen, und man erhält eine Algebra über einem kommutativen Ring. Unteralgebren und Ideale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Vektorraum ist immer über einem Körper definiert, denn die skalare Multiplikation ist eine Verknüpfung mit den üblichen Regeln. Weiter ist ein Vektorraum eine abelsche additive Gruppe.

Nicht jeder Vektorraum ist ein Ring, aber der Vektorraum der nxn-Matrizen ist ein Ring, denn man kann Matrizen nicht nur addieren und skalar multiplizieren, man kann sie miteinander multiplizieren. Daher ist der Vektorraum der Matrizen eine Ring, also eine Algebra.
Sabbse92 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe
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