Stetigkeit

07.05.2017, 17:32

leyla.1

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Stetigkeit

Gegeben seien die Funktionen $\begin{eqnarray*} f_1,f_2 \end{eqnarray*}$ außerhalb von $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} f_1(x,y)= \frac{y}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2(x,y)=\frac{y^3}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Lässt sich ein Funktionswert $\begin{eqnarray*} f_1(0,0) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f_2(0,0) \end{eqnarray*}$ finden, sodass die jeweilige Funktion stetig in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ ist? Wenn ja, geben Sie diese an.

Ich glaube ich stehe auf dem Schlauch. unglücklich

unglücklich

Da sind auf jeden Fall meine Ideen.

Ideen:

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ ist ausserhalb von $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ als Komposition stetiger Funktionen stetig.

Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \big| \frac{y}{x^2+y^2}- f_1(0,0)\big| =\lim_{(x,y) \to (0,0)} \big| \frac{y}{x^2+y^2}- \lambda\big| = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \big| y \cdot \frac{1}{x^2+y^2}- \lambda\big| \end{eqnarray*}$

Also muss y=0 sein. Und x ist bel. wählbar(außer null), damit als Grenzwert null rauskommt.

07.05.2017, 17:54

Binfett21

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Perfekt. Jetzt bearbeite die nächste Funktion.

07.05.2017, 18:19

leyla.1

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Ok danke.

Im zweiten Teil bekomme ich das irgendwie nicht hin. Hast du da einen Tipp?

07.05.2017, 19:51

10001000Nick1

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So richtig wird mir nicht klar, ob du nun der Meinung bist, dass $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzbar ist oder eben nicht. verwirrt

verwirrt

07.05.2017, 20:03

leyla.1

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Tut mir leid.

Ja also ich bin der Meinung, dass $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzbar ist, weil Also muss y=0 sein. Und x ist bel. wählbar(außer null), damit als Grenzwert null rauskommt.

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \big| \underbrace{y \cdot \frac{1}{x^2+y^2}}_{\text{Wird null, wenn y=0 ist} \Rightarrow \text{x bel. außer null}} - \lambda\big| \end{eqnarray*}$

Ich bin mir aber unsicher. Man will ja auch, dass $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ geht. Wenn man jetzt jeden Wert für x einsetzen kann, ist es doch nicht eindeutig.

Ich glaub, dass ich auf dem falschen Dampfer bin. Weil ich das nicht so richtig verstehe.

07.05.2017, 20:12

10001000Nick1

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Du hast nur den Fall betrachtet, dass du dich entlang der x-Achse dem Ursprung näherst; da ist der Grenwert 0.
Du musst aber den Grenzwert berechnen, wenn man sich aus einer beliebigen Richtung an den Ursprung annähert, d.h. du untersuchst, ob der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} f_1(x,y) \end{eqnarray*}$ existiert. Wenn ja, ist der Grenzwert gleich dem gesuchten Funktionswert. Wenn nicht, ist die Funktion nicht stetig im Nullpunkt fortsetzbar.

Im Falle der Existenz von $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} f_1(x,y) \end{eqnarray*}$ ist es egal, aus welcher Richtung man sich dem Ursprung nähert; es muss immer derselbe Grenzwert rauskommen.
Entlang der x-Achse hast du schon den Grenzwert 0 berechnet: $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} f_1(x,0)=0 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt berechne mal den Grenzwert, wenn du dich dem Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ aus irgendeiner anderen Richtung annäherst. Wenn da nicht 0 rauskommt, bist du schon fertig. Falls nicht, kannst du damit natürlich noch keine Aussage treffen.

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07.05.2017, 20:42

leyla.1

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Grenzwerte im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ fallen mir echt schwer zu bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} f_1(x,y) =\lim_{(x,y)\to (0,0)}y \frac{1}{x^2+y^2} =\lim_{(x,y)\to (0,0)}y \frac{1}{y^2} = \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{1}{y} = \infty \end{eqnarray*}$

Also ist die Funktion nicht stetig fortsetzbar. verwirrt

verwirrt

07.05.2017, 20:55

10001000Nick1

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Zitat:

Original von leyla.1
$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to (0,0)}y \frac{1}{x^2+y^2} =\lim_{(x,y)\to (0,0)}y \frac{1}{y^2} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Man darf nicht einfach für den einen Summanden den Grenzübergang durchführen, für den anderen nicht.

Was passiert denn, wenn man sich entlang der y-Achse dem Nullpunkt nähert? Was ist also $\begin{eqnarray*} \lim_{y\to 0} f_1(0,y) \end{eqnarray*}$ ?

07.05.2017, 21:16

leyla.1

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Hmm!

$\begin{eqnarray*} \lim_{y\to 0} f_1(0,y) =\lim_{y\to 0} y \frac{1}{y^2} =\lim_{y\to 0} \frac{1}{y}= \infty \end{eqnarray*}$

Wenn x=0 ist, hat man ja unendlich viele Funktionswerte oder? Also nicht nur null.

Sorry für die ganzen falschen Gedankengänge.

07.05.2017, 21:29

10001000Nick1

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Zitat:

Original von leyla.1
Wenn x=0 ist, hat man ja unendlich viele Funktionswerte oder? Also nicht nur null.

Du meinst, es gibt unendliche viele verschiedene Funktionswerte zu den Punkten auf der y-Achse?

Das ist richtig; anders als auf der x-Achse ist die Funktion hier nicht konstant. Das interessiert aber gar nicht, wir wollen ja nur den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} y\to 0 \end{eqnarray*}$ bestimmen. Und das hast du richtig gemacht.

Zu welcher Entscheidung kommst du jetzt: Ist $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzbar oder nicht?

07.05.2017, 21:40

leyla.1

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Ja genau das meinte ich.

Naja da der Grenzwert existiert, muss ja die Funktion stetig fortsetzbar sein oder? verwirrt

verwirrt

07.05.2017, 21:42

10001000Nick1

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Dann lies dir das hier nochmal durch:

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Im Falle der Existenz von $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} f_1(x,y) \end{eqnarray*}$ ist es egal, aus welcher Richtung man sich dem Ursprung nähert; es muss immer derselbe Grenzwert rauskommen.

07.05.2017, 21:51

leyla.1

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MENO!

Hammer

Ja, dann ist die Funktion f_1 nicht stetig fortsetzbar.

Analog für die zweite Funktion:

$\begin{eqnarray*} \lim_{y\to 0} f_2(0,y) =\lim_{y\to 0} y^3\frac{1}{y^2} =\lim_{y\to 0} y= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} f_2(x,0) =\lim_{x\to 0} 0\frac{1}{x^2} =\lim_{x\to 0} 0= 0 \end{eqnarray*}$

Ja diese Funktion ist stetig fortsetzbar: $\begin{eqnarray*} f_2(x,y) = (0,0) \end{eqnarray*}$

07.05.2017, 22:10

10001000Nick1

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So einfach funktioniert es bei der zweiten Funktion leider nicht.

Oben wussten wir, dass der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} (x,y)\to (0,0) \end{eqnarray*}$ nicht existiert, weil die Grenzwerte bei Annäherung an $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ aus zwei verschiedenen Richtungen unterschiedlich waren.

Umgekehrt kann man aber aus der Gleichheit der Grenzwerte aus zwei Richtungen nicht auf die Existenz des Grenzwertes für $\begin{eqnarray*} (x,y)\to (0,0) \end{eqnarray*}$ schließen; es gibt schließlich noch viel mehr (genauer unendlich viele) Richtungen, aus denen man sich dem Nullpunkt nähern kann.

Wenn man vermutet, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} f_2(x,y) \end{eqnarray*}$ existiert, muss man sich also etwas anderes überlegen. Tipp: Es gilt $\begin{eqnarray*} f_2(x,y)=y\cdot \frac{y^2}{x^2+y^2}=y\cdot \frac{1}{(\frac xy)^2+1} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt schau dir den zweiten Faktor an. Kann man irgendetwas darüber sagen, welche Werte dieser Term annehmen kann?

07.05.2017, 22:28

leyla.1

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Wenn y negativ ist, nimmt die Funktion nur negative Funkionswerte an und wenn y positiv ist, dann nimmt die Funktion nur positive Werte an.

Fallunterscheidung? verwirrt

verwirrt

07.05.2017, 22:34

10001000Nick1

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Es geht erstmal nur um den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(\frac xy)^2+1} \end{eqnarray*}$ . Der kann offensichtlich nur positiv sein; man kann aber noch mehr sagen.

Ich bin jetzt erstmal weg; mach dir bis morgen nochmal über diesen Faktor Gedanken und auch, wie und das bei der Bestimmung des Grenzwertes hilft. smile

smile

07.05.2017, 22:35

leyla.1

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Ok mach ich. Schlaf schön. smile

smile

08.05.2017, 20:58

leyla.1

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Hey, ich bins wieder. Wink

Wink

Habe heute nochmal darüber nachgedacht - Dieser Teil $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(\frac xy)^2+1} \end{eqnarray*}$ ist kleinergleich eins.

$\begin{eqnarray*} f_2(x,y)=y\cdot \frac{1}{(\frac xy)^2+1} \leq y \end{eqnarray*}$ .

Sollte man jetzt eine Grenzwertbetrachtung machen, also f_2(x,y) gegen null, müsste null rauskommen? verwirrt

verwirrt

08.05.2017, 21:03

10001000Nick1

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Zitat:

Original von leyla.1
Dieser Teil $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(\frac xy)^2+1} \end{eqnarray*}$ ist kleinergleich eins.

Richtig; und zusätzlich auch noch positiv.

Deswegen ist dann $\begin{eqnarray*} |f_2(x,y)|\leq |y| \end{eqnarray*}$ . Und wenn $\begin{eqnarray*} (x,y)\to (0,0) \end{eqnarray*}$ geht, geht insbesondere $\begin{eqnarray*} y\to 0 \end{eqnarray*}$ .

Also $\begin{eqnarray*} 0\leq \lim_{(x,y)\to (0,0)} |f_2(x,y)| \leq \lim_{(x,y)\to (0,0)}|y|=0 \end{eqnarray*}$ .

08.05.2017, 21:09

leyla.1

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Ahhh!! Verstanden!! Freude

Freude

Ich bedanke mich herzlich bei dir, dass du soviel Geduld mit mir hattest. smile

smile

smile

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