Zähldichte bestimmen von Quader

11.05.2017, 16:53

FaithNoMore

Zähldichte bestimmen von Quader

Meine Frage:
Ein Quader mit den Kantenlängen 2, 3 und 6 trägt jeweils auf den beiden gegenüberliegenden
Seiten die Zahlen 1, 2 bzw. 3, wobei die Zahl umso größer ist, je größer der Flächeninhalt der
Seite ist. Die Wahrscheinlichkeit, mit der beim Werfen des Quaders eine bestimmte Seite oben
zu liegen kommt, sei proportional zum Flächeninhalt dieser Seite.

Bestimmen Sie die Zähldichte der mit diesem Quader "gewürfelten" Zahl X, also für $\begin{eqnarray*} 1 \leq k \leq 3 \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} P(X=k) \end{eqnarray*}$ , dass eine Seite mit der Zahl k nach oben zeigt.

Wie verändert sich die Zähldichte, wenn jeweils eine 1 und eine 3 vertauscht werden, so dass die Augensumme auf zwei gegenüber liegende Seiten jeweils 4 beträgt?

Meine Ideen:
Meine Idee war also zuerst einmal die möglichen Flächeninhalte zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} A_1=2 \cdot 3 = 6 \rightarrow Zahl \,\,1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_2=2 \cdot 6 = 12 \rightarrow Zahl \,\,2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_3=3 \cdot 6 = 18 \rightarrow Zahl \,\,3 \end{eqnarray*}$

Nun war ich mir nicht sicher, ob ich die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Seite einfach simpel über den Dreisatz berechnen kann, wenn ich voraussetze, dass $\begin{eqnarray*} 6 + 12 + 18 = 36 = 100% \end{eqnarray*}$ , also wird dementsprechend für die Zahl 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} 16. \overline{6}% \end{eqnarray*}$ , die Zahl 2 von $\begin{eqnarray*} 33. \overline{3}% \end{eqnarray*}$ und die Zahl 3 $\begin{eqnarray*} 50% \end{eqnarray*}$ . Wäre es möglich, das zu tun? Und wie verfahre ich nun genau weiter, um die Zähldichte zu bestimmen? Hammer

11.05.2017, 17:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von FaithNoMore
Nun war ich mir nicht sicher, ob ich die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Seite einfach simpel über den Dreisatz berechnen kann, wenn ich voraussetze, dass $\begin{eqnarray*} 6 + 12 + 18 = 36 = 100% \end{eqnarray*}$ , also wird dementsprechend für die Zahl 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} 16. \overline{6}% \end{eqnarray*}$ , die Zahl 2 von $\begin{eqnarray*} 33. \overline{3}% \end{eqnarray*}$ und die Zahl 3 $\begin{eqnarray*} 50% \end{eqnarray*}$ .

Das ist soweit korrekt. Die Angabe der Zähldichte $\begin{align*} f_X(k) = P(X=k) \end{align*}$ besteht jetzt nur noch darin, diese eben von dir genannten Wahrscheinlichkeiten dem jeweiligen Zufallsgrößenwert zuzordnen, d.h.

$\begin{align*} f_X(1) = \frac{1}{6},\quad f_X(2) = \frac{1}{3},\quad f_X(3) = \frac{1}{2} \end{align*}$ .

In Hinblick auf

Zitat:

Original von FaithNoMore
Wie verändert sich die Zähldichte, wenn jeweils eine 1 und eine 3 vertauscht werden, so dass die Augensumme auf zwei gegenüber liegende Seiten jeweils 4 beträgt?

teilen sich diese Wahrscheinlichkeiten allerdings jeweils zur Hälfte auf: Also jeweils $\begin{align*} \frac{1}{12} \end{align*}$ für die beiden $\begin{align*} 2\times 3 \end{align*}$ -Seiten, je $\begin{align*} \frac{1}{6} \end{align*}$ für die beiden $\begin{align*} 2\times 6 \end{align*}$ -Seiten und schließlich je $\begin{align*} \frac{1}{4} \end{align*}$ für die beiden $\begin{align*} 3\times 6 \end{align*}$ -Seiten.

16.05.2017, 08:11

FaithNoMore

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Hallo

Danke für die Hilfe zu der Aufgabe! smile

Allerdings scheine ich ein wenig an der zweiten Lösung zu scheitern. Wie genau ist man darauf gekommen? Ich kann nicht ganz nachvollziehen, wie sich die Wahrscheinlichkeit ändert, obwohl der Flächeninhalt gleich groß bleibt, aber sich die Augenzahl verändert? Hammer

16.05.2017, 09:49

HAL 9000

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Betrachte die Sache sorgfältig getrennt: Die Wahrscheinlichkeiten gehören in erster Linie zu den Seitenflächen (mit den entsprechenden Flächeninhalten) - die Zuordnung der Zahlen zu den Seitenflächen geschieht dann in einem davon unabhängigen Prozess.

Bleiben wir also bei den Seitenflächen und listen sie und ihre Wahrscheinlicheiten nochmal auf. Da es von jedem Typ Seitenfläche jeweils zwei (gegenüberliegende) Exemplare gibt, versehe ich die mit einem kleinen Index 1 und 2:

$\begin{align*} {\color{red}(2\times 3)_1:\quad\mbox{Wkt}\;\frac{1}{12}} \qquad {\color{blue}(2\times 6)_1:\quad\mbox{Wkt}\;\frac{1}{6}} \qquad {\color{darkgreen}(3\times 6)_1:\quad\mbox{Wkt}\;\frac{1}{4}} \end{align*}$

$\begin{align*} {\color{red}(2\times 3)_2:\quad\mbox{Wkt}\;\frac{1}{12}} \qquad {\color{blue}(2\times 6)_2:\quad\mbox{Wkt}\;\frac{1}{6}} \qquad {\color{darkgreen}(3\times 6)_2:\quad\mbox{Wkt}\;\frac{1}{4}} \end{align*}$

Für die Augenzahlen $\begin{align*} {\color{red}1} \end{align*}$ , $\begin{align*} {\color{blue}2} \end{align*}$ und $\begin{align*} {\color{darkgreen}3} \end{align*}$ sind nun die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten zusammenzuzählen, die Farbzuordnung entspricht der ursprünglichen Zahlenfestlegung.

Für die veränderte Fragestellung

Zitat:

Original von FaithNoMore
Wie verändert sich die Zähldichte, wenn jeweils eine 1 und eine 3 vertauscht werden, so dass die Augensumme auf zwei gegenüber liegende Seiten jeweils 4 beträgt?

ändert sich das ganze zu

$\begin{align*} {\color{red}(2\times 3)_1:\quad\mbox{Wkt}\;\frac{1}{12}} \qquad {\color{blue}(2\times 6)_1:\quad\mbox{Wkt}\;\frac{1}{6}} \qquad {\color{darkgreen}(3\times 6)_1:\quad\mbox{Wkt}\;\frac{1}{4}} \end{align*}$

$\begin{align*} {\color{darkgreen}(2\times 3)_2:\quad\mbox{Wkt}\;\frac{1}{12}} \qquad {\color{blue}(2\times 6)_2:\quad\mbox{Wkt}\;\frac{1}{6}} \qquad {\color{red}(3\times 6)_2:\quad\mbox{Wkt}\;\frac{1}{4}} \end{align*}$ ,

was bedeutet das dann für die Wahrscheinlichkeiten für die Augenzahlen $\begin{align*} {\color{red}1} \end{align*}$ , $\begin{align*} {\color{blue}2} \end{align*}$ und $\begin{align*} {\color{darkgreen}3} \end{align*}$ ?

16.05.2017, 10:01

FaithNoMore

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Also liegt jetzt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine 1 oder 3 gewürfelt wird jeweils bei $\begin{eqnarray*} frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ?

16.05.2017, 10:02

HAL 9000

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Ja.