QR Zerlegung nach Gram-Schmidt

12.05.2017, 18:58	Der_Apfel	Auf diesen Beitrag antworten »
QR Zerlegung nach Gram-Schmidt Gegeben sei die Matrix: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es soll eine QR-Zerlegung nach Gram-Schmidt durchgeführt werden, zuerst möchte ich die $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ Matrix bestimmen, die aus den orthogonalen Spaltenvektoren $\begin{eqnarray} q_i \end{eqnarray}$ besteht, es gilt: $\begin{eqnarray} q_i = \frac{u_i}{\|u_i\|} \end{eqnarray}$ und weiter: $\begin{eqnarray} u_i = a_i - \sum_{k=0}^{i-1}(q_k \cdot a_i) q_k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q_0 \end{eqnarray}$ wäre demnach $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} q_1 \end{eqnarray}$ komme ich auf folgendes: $\begin{eqnarray} q_1 = a_1 - (q_0 \cdot a_1) * q_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} - \sqrt{3} * \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{3}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Wo liegt mein Fehler?
13.05.2017, 16:19	Der_Apfel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich die QR-Zerlegung auf http://comnuan.com/cmnn0100e/ erledigen lassen, erhalte ich für $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ die Matrix: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix}<br /> -0.5774 & -0.5774 & -0.5774\\<br /> -0.5774 & 0.7887 & -0.2113\\<br /> -0.5774 & -0.2113 & 0.7887\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$
13.05.2017, 18:57	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Eigenschaft von Gram-Schmidt ist doch, dass die orthonormalen Vektoren den gleichen Raum aufspannen wie die Ausgangsvektoren. Die Ausgangsvektoren sind hier alle gleich, spannen also einen eindimensionalen Raum auf. Damit ist klar, dass dir Gram-Schmidt keine drei orthonormalen - und damit insbesondere lin unabhängigen - Vektoren liefern kann. Orthogonal sind sie natürlich schon, der Nullvektor ist schließlich zu jedem Vektor orthogonal.

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