Leibniz Regel für Integrale und Bernoulli Zahlen

12.05.2017, 19:30

Emely123

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Leibniz Regel für Integrale und Bernoulli Zahlen

Meine Frage:
Hallo,
ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Für $\begin{eqnarray*} j\in \mathbb N (mit 0) \end{eqnarray*}$ sind die so genannten Bernoulli-Zahlen $\begin{eqnarray*} b_{j} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} b_{j} = g^{(j)}(0) \end{eqnarray*}$ . ( $\begin{eqnarray*} g(0)= 1 und g(x) = \frac{e^{x}-1}{x } fuer x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ). Zeigen Sie mit Hilfe der Leibniz-Regel bei der Bestimmung von $\begin{eqnarray*} \frac{d^{n}}{dx^{n}} (\frac{e^{x}-1}{x} g(x)) |_{x= 0} \end{eqnarray*}$ für n Element aus N mit 0 , dass die Bernoulli Zahlen der folgenden Rekursionsgleichung genügen :
$\begin{eqnarray*} b_{0} = 1, \sum\limits_{j=0}^{n} \left(\frac{n+1}{j} \right)b_{j} = 0 \end{eqnarray*}$ . (Die Bruchstriche bitte beim Letzten wegdenken Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Meine Ideen:
Da ich nicht so wirklich weiß, wie ich da überhaupt rangehen soll, hätt ich jetzt erst mal mit der Leibniz Regel angefangen. Da verwirrt mich ziemlich, dass anstatt d/dx (d/dx)^n dasteht.... Auch würde sich doch wenn ich g(x) einsetzt des alles kürzen und dann nur noch 1 dastehen, des kann doch nicht so gemeint sein oder?
Wenn ich die Leibniz Regel richtig verstanden habe, brauche ich ja im Inneren zwei verschiedene "Funktionen". Das wäre in diesem Fall g(x) und zum Beispiel $\begin{eqnarray*} v(x) = \frac{e^{x}-1}{x} \end{eqnarray*}$ .

Aber wir muss ich jetzt weiter vorgehen?

Vielen Dank für Hilfe im Voraus!!! smile

smile

12.05.2017, 22:36

10001000Nick1

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Hast du dich bei der Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ verschrieben? Da ist sicherlich $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{x}{e^x-1} \end{eqnarray*}$ gemeint, oder? Dann würde auch das hier stimmen:

Zitat:

Original von Emely123
Auch würde sich doch wenn ich g(x) einsetzt des alles kürzen und dann nur noch 1 dastehen

Und doch, das ist genauso gemeint. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du sollst einfach die Ableitung auf zwei verschiedene Wege berechnen: Einmal, indem du zuerst vereinfachst (wie schon gesagt ist das Produkt 1); also muss die Ableitung 0 sein.
Und dann sollst du nochmal die n-te Ableitung von $\begin{eqnarray*} g(x)\cdot v(x) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ mithilfe der Leibniz-Regel bestimmen (mit $\begin{eqnarray*} v(x) \end{eqnarray*}$ meine ich das, was in deinem Beitrag steht ( $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ wird in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ auch durch $\begin{eqnarray*} v(0)=1 \end{eqnarray*}$ fortgesetzt).

Für diese Ableitung mithilfe der Leibnizregel brauchst du allgemein die k-te Ableitung von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ . Die kannst du z.B. bestimmen, indem du dir die Taylorreihe von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ anschaust.

Den Binomialkoeffizienten $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ kannst du übrigens mit \binom{n}{k} schreiben. smile

smile

13.05.2017, 11:39

Emely123

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Erstmal vielen Dank für die Antwort ! Freude

Freude

Ja bei g habe ich mich verschrieben smile

smile

Also die eine Ableitung ist klar, bei der anderen wäre ja nach der Leibniz Regel:

$\begin{eqnarray*} (vg)^{(n)}=\sum\limits_{n=0}^{\infty } \binom{n}{k}v^{k}g^{n-k} \end{eqnarray*}$
Oder?
Das Taylorpolynom von v wäre doch:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } (\frac{x^{n} }{n!}-\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$
Allerdings habe ich keine Ahnung wie ich daraus dir k-te Ableitung bestimmen soll verwirrt

verwirrt

13.05.2017, 12:22

10001000Nick1

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Schau dir nochmal die Leibnizregel an. Die Summationsgrenzen stimmen nicht.

Und dein Taylorpolynom stimmt auch nicht. Das Taylorpolynom von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ (mit Entwicklungsstelle 0) hat die Form $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{v^{(k)}(0)}{k!} x^k \end{eqnarray*}$ . Deine Reihe sieht nicht so aus, kann also gar keine Taylorreihe sein.

Die Taylorreihe von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ . Was passiert, wenn du davon 1 subtrahierst?
Und danach durch x dividierst?

13.05.2017, 12:41

Emely123

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Okay, also die Leibniz Regel: $\begin{eqnarray*} (vg)^{n}= \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} v^{k} g^{n-k} \end{eqnarray*}$

Und die Taylorreihe von v: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{x^{k} }{(k+1)!} \end{eqnarray*}$

Oder? smile

smile

13.05.2017, 12:47

10001000Nick1

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Richtig!

Freude

Was ist also $\begin{eqnarray*} v^{(k)}(0) \end{eqnarray*}$ ?

Und noch ein Tipp: Ich würde die Reihenfolge der Faktoren bei der Leibniz-Regel ändern: $\begin{eqnarray*} (vg)^{(n)}= \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} g^{(k)} v^{(n-k)} \end{eqnarray*}$ .
Dann hast du die Bernoulli-Zahlen schon in der Summe stehen; das spart dir nachher einen Umformungsschritt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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13.05.2017, 12:59

Emely123

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Okay danke smile

smile

$\begin{eqnarray*} v^{(k)}(0) \end{eqnarray*}$ müsste ja dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{0^{k} }{(k+1)!} =\sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{0 }{(k+1)!} = 0 \end{eqnarray*}$ sein oder?

13.05.2017, 13:13

10001000Nick1

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Nein, du sollst nicht die Taylorreihe an der Stelle 0 berechnen (das wäre wegen $\begin{eqnarray*} 0^0=1 \end{eqnarray*}$ (wie bei Potenzreihen üblich) 1, nicht 0).
Sondern die k-te Ableitung von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bestimmen. Einen Tipp hatte ich ja oben schon gegeben:

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Das Taylorpolynom von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ (mit Entwicklungsstelle 0) hat die Form $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{v^{(k)}(0)}{k!} x^k \end{eqnarray*}$ .

Ich merke gerade, dass ich da ein paar Mal von Taylorpolynomen gesprochen habe. Ersetz das einfach überall durch Taylorreihe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.05.2017, 13:25

Emely123

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Achso, muss ich dann für $\begin{eqnarray*} v^{(k)}(0) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{v^{(k)}(0)}{k!} x^k \end{eqnarray*}$ etwas Finden, damit sich die Taylorreihe von v : $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{x^{k} }{(k+1)!} \end{eqnarray*}$ ergibt.

Das wäre ja dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+k} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} v^{(k)}(0) = \frac{1}{1+k} \end{eqnarray*}$

13.05.2017, 13:31

10001000Nick1

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Genau.
Und das kannst du jetzt in die Ableitung einsetzen, die du oben mit der Leibniz-Regel berechnet hast.

13.05.2017, 14:00

Emely123

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Okay

smile

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k}g^{k} v^{n-k} = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!*(n-k)!} g^{k} \frac{1}{n-k+1} = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!*(n-k+1)!} g^{k} \end{eqnarray*}$ .
Aber wie bekomme ich jetzt im Zähler (n+1)!, weil mein Binom in der oberen Formel ist ja $\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{k} \end{eqnarray*}$ . Habe ich irgendwas falsch zusammenmultiplizert? verwirrt

verwirrt

13.05.2017, 14:10

10001000Nick1

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Schreib dir mal auf, was $\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{k} \end{eqnarray*}$ ist und vergleiche mit dem Term, den du da stehen hast.

13.05.2017, 14:18

Emely123

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Es ist doch $\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{k}=\frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} \end{eqnarray*}$ oder? verwirrt

verwirrt

13.05.2017, 14:19

10001000Nick1

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Ja

13.05.2017, 14:37

Emely123

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Irgendwie seh ichs grad net.... verwirrt

verwirrt

Mein Term oben ist ja $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k}g^{k} v^{n-k} = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!*(n-k)!} g^{k} \frac{1}{n-k+1} = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!*(n-k+1)!} g^{k} \end{eqnarray*}$ . Also der Nenner würde ja schon mal passen, aber eigentlich brauch ich ja noch ein (n+1) im Zähler oder weil n! * (n+1) wären ja dann die (n+1)! oder?

13.05.2017, 14:39

10001000Nick1

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Du kannst ja einfach mal mit $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ erweitern.

Schreib dir dann mal auf, was zu zeigen ist und was du schon gezeigt hast. Eigentlich fehlt jetzt nicht mehr viel.

13.05.2017, 16:27

Emely123

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Vielen Dank Freude

Freude

Jetzt hab ichs Wink

Wink

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