holomorphe Funktionen bestimmen

13.05.2017, 11:25	NiclasRiemann	Auf diesen Beitrag antworten »
holomorphe Funktionen bestimmen Meine Frage: Hallo zusammen! Ich habe mal eine Frage zu folgender Aufgabe: Prüfe ob die folgenden Funktionen die Realteile von holomorphen Funktionen auf $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ sind oder nicht: a) $\begin{eqnarray} u(x,y)=e^x sin(y) \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} u(x,y)= x^3 -3xy^2 \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} u(x,y)= x^4 -y^4 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Vorab kurz zur Darstellung, wir schreiben immer : $\begin{eqnarray} f(z)=f(x+iy)= u(x,y) +iv(x,y) \end{eqnarray}$ Dann hab ich mittels Cauchy-Riemann-Differentialgleichung berechnet dass: a) wenn gilt $\begin{eqnarray} u(x,y)=e^x sin(y) \end{eqnarray}$ und damit f(z) holomorph ist, muss gelten: $\begin{eqnarray} u_{x} = e^x sin(y) = v_{y} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_{y} = e^x cos(y) = -v_{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow v_{x} = -e^x cos(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow v(x,y) = -e^x cos(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(z)=u(x,y)+iv(x,y) = e^x (sin(y)-icos(y) ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(z) \end{eqnarray}$ ist holomorph, bzw. u(x,y) der Realteil einer holomorphen Funktion reicht dies soweit oder muss ich da noch etwas zeigen? Weil eigentlich ist damit ja gezeigt das f(z) komplex diffbar ist und laut Skript folgt aus komplex diffbar direkt die stetigkeit von f(z) und holomorph ist ja gerade komplex diffbar +stetig. zu c) $\begin{eqnarray} u(x,y)= x^4 -y^4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u_{x} = 4x^3 = v_{y} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u_{y} = -4y^3 =- v_{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow v_{x} = 4y^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow v(x,y) = 4y^3x +4x^3y \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} v_{x} = 4y^3 \neq 4y^3 +12x^2 y \end{eqnarray}$ also hier nicht möglich eine komplex diffbare Funktion f(z) zu finden deren Realteil $\begin{eqnarray} u(x,y)= x^4 -y^4 \end{eqnarray}$ ist. Stimmt dies soweit?
13.05.2017, 11:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
das erste passt, beim zweiten würde ich sagen $\begin{eqnarray} v_x=4y^3\Rightarrow v(x,y)=4xy^3, v_y=4x^3\Rightarrow v(x,y)=4x^3y \end{eqnarray}$ (Widerspruch).

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