[Beweis] Strikt diagonaldominante Matrix ist regulär, Gerschgorin

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Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
[Beweis] Strikt diagonaldominante Matrix ist regulär, Gerschgorin
Hallo zusammen,

ich möchte folgende Aussage mittels Gerschgorin Kreisen beweisen:

Jede strikt diagonaldominante Matrix ist regulär.

Ich verstehe nur nicht wie ich das mit Gerschgorin Kreisen anstellen soll. Die Gerschgorin Kreise machen lediglich eine Aussage über die Lokalisierung der Eigenwerte einer Matrix A.
Regularität dagegen sagt zunächst einmal aus, dass eine Matrix invertierbar ist.
Welche äquivalente Charakterisierung der Regularität einer Matrix muss ich verwenden um mittels Gerschgorin Kreisen beweisen zu können, dass obige Aussage gilt?

Ein Hinweis ist:

Zeigen Sie, dass für eine reguläre Matrix gilt: ist ähnlich zu .

Vielen Dank im Voraus.
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RE: [Beweis] strikt diagonladomintante Matrix ist regulär, Gerschgorin
Überlege dir, was es bedeutet, wenn die Null ein Eigenwert ist.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Beweis] strikt diagonladomintante Matrix ist regulär, Gerschgorin
Ich muss also die Eigenschaft der Regularität verwenden, dass gilt:



Alle Eigenwerte sind ungleich 0.

Da alle Eigenwerte einer Matrix in der Vereinigung aller Gerschgorin Kreise liegen müssen, müssen wir an dieser Stelle also zeigen, dass gilt: gilt.
Für ist die Bedingung gleichbedeutend mit:



was wiederum gerade die strikte Diagonaldominanz der Matrix impliziert. Daher ist regulär, die Zahl also kein Eigenwert von A.

Ist das richtig so?
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RE: [Beweis] strikt diagonladomintante Matrix ist regulär, Gerschgorin
Es geht in die richtige Richtung allerdings geht aus meiner Sicht die Argumentation hier schief
Zitat:
was wiederum gerade die strikte Diagonaldominanz der Matrix impliziert. Daher ist regulär, die Zahl also kein Eigenwert von A.

Warum ist diagonaldominant? Warum sollte daraus folgen, dass sie regulär ist?
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Beweis] strikt diagonladomintante Matrix ist regulär, Gerschgorin
Sorry, die Matrix ist diagonaldominant (auch per Voraussetzung). Da wir ja gezeigt haben, dass die Zahl nicht in den Gerschgorinkreisen liegen kann und damit kein Eigenwert ist, müssen doch notwendigerweise alle Eigenwerte ungleich 0 sein.
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RE: [Beweis] strikt diagonladomintante Matrix ist regulär, Gerschgorin
Genau. Und daraus folgt dann, dass A regulär ist.
 
 
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Beweis] strikt diagonladomintante Matrix ist regulär, Gerschgorin
Okay perfekt.

Super vielen Dank für deine Unterstützung smile Wink Freude
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