Lineare Abbildung stetig

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Asd12 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung stetig
Meine Frage:
Hallo ich habe eine Aufgabe wie kann ich diese zeigen?

Meine Ideen:
Um ehrlich zu sein weiss ich nicht wie ich das machen soll.
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung Stetig
Man kann es ganz elementar mit dem Folgenkriterium nachrechnen. Sei dazu die Matrix zur Abbildung und eine Folge mit . Schreibe in Komponenten aus und benutze die Grenzwertsaetze.
Asd12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung Stetig
Ok danke für die schnelle Antwort...

Das Folgenkriterium sagt ja:

Eine Funktion F hat an einer stelle x0 den Grenzwert y0 falls für alle Folgen xn die gegen x0 Konvergieren der Grenzwert F(xn) der selbe ist also y0.

Das wollen wir ausnutzen um zu zeigen das eine Lineare Abbildung Stetig ist dies wäre nämlich Stetig weil für jede stelle der Funktionen ein Grenzwert existiert und dieser auch der funktionswert ist habe ich das erstmal richtig verstanden also die Idee nur übertragen auf eine Matrix ?
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung Stetig
Du hast vorgelegt und sollst daraus auf schliessen. Dazu musst du erstmal Papier schmutzig machen und alles in Komponenten ausschreiben.
Asd12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung Stetig
Also etwa so:



=


und jetzt? verwirrt verwirrt
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung Stetig




Jetzt schau nach, wie man Matrizen mit Vektoren multipliziert und schreibe auf!
 
 
Asd12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung Stetig
Ich verstehe nicht was sein soll ? ist das eine Potenz ?




nur mit ... nach unten usw.. sowie es bei dir steht
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung Stetig
Das geklammerte n rechts oben ist der Folgenindex. Rechts unten steht der Komponentenindex. Wir haben hier doch eine Folge von Vektoren. Du kannst das schreiben, wie Du magst. Hauptsache, man kann es auseinanderhalten.

Jedenfalls stehst Du jetzt kurz vor dem Ziel. Es ist noch



auszurechnen. Saubere Begruendung ist wuenschenswert. Nicht einfach kommentarlos ueberall durch ersetzen.
Asd12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung Stetig
Nagut Big Laugh

Da und Wir den Grenzwertsatz anwenden Können also den limes jeder einzelnen komponente betrachten ist der limes von

Zitat:
Es ist noch



=
=Ax

stimmt das ? verwirrt
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung Stetig
Zitat:
Original von Asd12



Da wird sicher kein x stehen, denn x ist ein Vektor.

Ausserdem willst Du den Limes, der erstmal vor dem Vektor steht, zu den Komponenten durchschieben. Dazu haette man auch gerne noch eine Begruendung (Satz XY aus der Vorlesung etwa), warum das geht. Die Grenzwertsaetze (in 1D aus Analysis I) kommen erst dann zum Zuge, wenn man den Limes bei den Komponenten hat.
Asd12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung Stetig
Zitat:
Ausserdem willst Du den Limes, der erstmal vor dem Vektor steht, zu den Komponenten durchschieben. Dazu haette man auch gerne noch eine Begruendung (Satz XY aus der Vorlesung etwa)


Das darf ich doch machen weil ich die Stetigkeit annehme oder verwirrt oder nein gerade das will ich ja zeigen ... wegen was darf man das machen ich weiß es nicht kannst du mir das bitte sagen das ist für mich schon wichtig verwirrt

und natürlich muss da anstatt x = x1 x2 ... xp usw stehen
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung Stetig
Einen Satz, nachdem eine Folge von Vektoren genau dann konvergiert (Norm egal), wenn die Komponentenfolgen konvergieren, und dass dann



gilt, muesstest Du in Deinen Unterlagen finden.
Asd12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung Stetig
achso ok und nun haben wir ja gezeigt das Ax rauskommt was haben wir denn jetzt damit genau erreicht ? verwirrt
Ich habe schon verstanden was gemacht wurde aber verstehe nicht wie es dazu jetzt kam das Alle Linearen Abbildungen Stetig sind. Warum haben wir außerdem A als eine Lineare Abbildung gewählt ?

Tut mir leid für die vielen dummen fragen aber das ist mir wichtig..
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung Stetig
Na wir haben die Bedingung des Folgenkriteriums fuer Stetigkeit nachgerechnet:

Aus folgt tatsaechlich .

Damit ist die Abbildung als stetig erkannt.

Benutzt haben wir, dass linear ist, man also auch als Matrix-Vektor-Produkt auffassen kann, und ausserdem zwei einfache Tatsachen, die davon unabhaengig sind.

Irgenwas extra oben drauf, ausser dass man eben eine Funktion hat, wird es wohl brauchen, da nicht alle Funktionen stetig sind.
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