Vektoren orthogonal |
| 13.05.2017, 17:04 | KleinerSchlawiner04 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Vektoren orthogonal Ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter: Begründen Sie, dass die Vektoren r*a und s*b (r,s=/0) orthogonal zueiander sind, wenn die Vektoren a,b orthogonal zueiander sind. Meine Ideen: Das Skalarprodukt muss bei beiden 0 sein, damit sie orthogonal sind, also (1) a*b=0 (2) r*a+s*b=0 Jetzt komme ich nicht weiter, muss ich die gleichsetzen? oder was muss ich tun? |
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| 13.05.2017, 17:31 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zwei verschiedene Multiplikationen mit demselben Rechenzeichen zu benennen ist nicht sehr günstig. In jedem Fall ist deine zweite Aussage aber falsch, denn sie sagt nichts über die Orthogonalität aus. Hierzu ist zu zeigen, dass ra*sb=0 (sofern * das Skalarprodukt darstellt) |
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| 13.05.2017, 17:36 | KleinerSchlawiner04 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, da ist mir ein Fehler beim Eintippen unterlaufen, du hast recht. Die zweite muss (r*a)*(s*b)=0 heißen. Aber wie mache ich trotzdessen weiter? |
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| 13.05.2017, 18:29 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Exkurs: Der Hinweis mit den zwei verschiedenen Multiplikationen übergehst Du schon wieder. Ich hatte nicht ohne Grund (ra)*(sb) geschrieben. In Klammern wird ein Vektor vervielfältigt, also mit einem Skalar multipliziert. Das Ergebnis ist also ein Vektor. * steht hingegen für die Multiplikation zweier Vektoren, nämlich dem Skalarprodukt. Auch wenn hier das Wort "Skalar" auftaucht, ist die Multiplikation doch eine ganz andere. Ihr Ergebnis ist eine reelle Zahl. Dann zur Aufgabe: Was ist dir denn bekannt? Am einfachsten wäre das Ausnutzen der Linearität des Skalarproduktes in beiden Komponenten. Dann verkommt der Beweis zum trivialen Einzeiler. Sollte das aber noch nicht behandelt worden sein, würde ich auf die Definition zurückgreifen und das Skalarprodukt per Hand ausrechnen. Das ist aber weitaus aufwendiger. |
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| 13.05.2017, 21:33 | KleinerSchlawiner04 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was genau meinst du mit "Mit der Hand ausrechnen"? Wenn ich am Anfang (r*a)*(s*b)=0 habe, dann heißt das ja eigentlich (r*a1)*(s*b1) (r*a2)*(s*b2)=0 (r*a3)*(s*b3) Rechne ich daraus das Skalarprodukt aus, komme ich auf (r*a1)*(s*b1)+(r*a2)*(s*b2)+(r*a3)*(s*b3)=0 Das wiederrum ausmulitpliziert ist: rs+rb1+sa1+a1b1+rs+rb2+sa2+a2b2+rs+rb3+sa3+a3b3=0 Zusammengefasst und umgestellt gibt das: 3rs+rb1+rb2+rb3+sa1+sa2+sa3+a1b1+a2b2+a3b3=0 Ich weiß nicht, ob mein Ansatz überhaupt deiner Überlegung entspricht, aber wenn ja, dann könnte man jetzt ja ausklammern: 3rs+r(b1*b2*b3)+s(a1*a2*a3)+a1b1+a2b2+a3b3=0 Der hintere Teil ab, also a1b1+a2b2+a3b3 entspricht ja dem Skalarprodukt aus a und b (vom Anfang). Hilft mir das irgendwie weiter? |
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| 13.05.2017, 21:47 | KleinerSchlawiner04 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube, ich habe das Problem gerade gelöst. Die ganzen Sachen, die vor dem Skalarprodukt von a und b stehen, sind ja eine reele Zahl, da dort keine Vektoren, sondern nur deren Komponenten vorkommen. also erhalten wir (ich nenne die Zahl jetzt einfach mal n): n*(a*b)=0 Da ja das Skalarprodukt von a und b ja laut Aufgabenstellung 0 ist, wird ja der ganze rechte Term null ... und damit ist die Aussage bewiesen, oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht? |
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| 14.05.2017, 13:13 | KleinerSchlawiner04 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt das? |
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| 14.05.2017, 13:57 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mit n = r*s (worauf Helferlein dich ja immer hinzuschubsen versucht hat 
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| 14.05.2017, 15:00 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zur Sicherheit noch einmal die Kurzform: . Wegen gilt also sogar Äquivalenz der Aussagen. |
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